Русская Википедия:Многочлен Джонса
Шаблон:Другие значения Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной <math>t^{1/2}</math> с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.
Определение через скобку Кауффмана
Для заданного ориентированного зацепления <math>L</math> определяется вспомогательный многочлен:
- <math>X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle</math>,
где <math>w(L)</math> — число закрученности диаграммы <math>L</math>, а <math>\langle L \rangle</math> — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков <math>L_{+}</math> и числом отрицательных перекрёстков <math>L_{-}</math> и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.
<math>X(L)</math> — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы <math>L</math>. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на <math>-A^{\pm 3}</math>, что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности <math>w(L)</math>.
Многочлен Джонса определяется из <math>X(L)</math> подстановкой:
- <math>A = t^{-1/4} </math>,
результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной <math>t^{1/2}</math>.
Определение через представления группы кос
Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (Шаблон:Iw).
Шаблон:Iw утверждает, что любое зацепление <math>L</math> является замыканием косы с <math>n</math> нитями, в связи с этим можно определить представление <math>\rho</math> группы кос <math>B_n</math> с <math>n</math> нитями на алгебре Темперли — Либа <math>TL_n</math> с коэффициентами из <math>\mathbb Z [A, A^{-1}]</math> и <math>\delta = -A^2 - A^{-2}</math>. Стандартная образующая косы <math>\sigma_i</math> равна <math>A \cdot e_i + A^{-1} \cdot 1</math>, где <math>1, e_1, e_2, ..., e_{n-1} </math> — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова <math>\sigma</math> косы <math>L</math> вычисляется <math>\sigma ^{n-1} tr \rho (\sigma)</math>, где <math>tr</math> — след Маркова, в результате получается <math>\langle L \rangle</math>, где <math>\langle</math> <math>\rangle</math> — скобочный полином.
Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление <math>R</math>-матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является[1] понятие <math>k</math>-параллельного полинома Джонса).
Определение через скейн-соотношения
Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:
- <math> (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})</math>,
где <math>L_{+}</math>, <math>L_{-}</math>, и <math>L_{0}</math> — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:
Свойства
Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].
Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной <math>t</math> в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.
Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:
- <math>V(L_1 \# L_2) = V(L_1) V(L_2)</math>.
Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:
- <math>V(L_1 \cup L_2) = -(t^{-1/2}+t^{1/2}) V(L_1) V(L_2)</math>.
Многочлен Джонса объединения зацепления <math>L</math> и тривиального узла равен:
- <math> V(L \cup O) =- (t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)</math>.
Для <math>L^{*_k}</math> — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления <math>L</math> заменой ориентации некоторой компоненты <math>k</math> на противоположную, имеет место:
- <math>V_{L^*} = t^{-3 \cdot \lambda} \cdot V(L) </math>,
где <math>\lambda</math> — это коэффициент зацепления компоненты <math>k</math> и <math>L-k</math>.
Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).
Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой <math>t</math> на <math>t^{-1}</math> (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).
Если <math>K</math> — узел, тогда:
- <math>V_K (e^{2 \pi i / 3}) = 1</math>.
Значение многочлена Джонса для зацепления <math>L</math> с числом компонент зацепления <math>p</math> в точке 1:
- <math>V_L (1) = (-2)^{p-1}</math>.
Многочлен Джонса <math>(m,n)</math>-торического узла:
- <math>V(t) = \frac{t^{\frac{(m-1) \cdot (n-1)}{2}} \cdot (1 - t^{m+1} - t^{n+1} + t^{m+n})}{1 - t^2}</math>.
Открытые проблемы
В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления[4], при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов <math>K_r</math> с <math>20\cdot 2^{r-1}+1</math> пересечениями, для которых многочлен Джонса <math>V(K_r)</math> сравним с единицей по модулю <math>2^r</math>[5].
Вариации и обобщения
- Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.
- В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (Шаблон:Iw). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.
- Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.
Примечания
Литература
- ↑ Murakami J., The parallel version of polynomial invariants of links Шаблон:Wayback, Osaka J. Math., 1989.
- ↑ Jones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras Шаблон:Wayback, Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103—111, 1987.
- ↑ Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
.svg){kind=link}