Русская Википедия:Многочлен Кауфмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:К переименованию Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Шаблон:Нп2. Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

<math>F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)</math>,

где <math>w(K)</math> — закрученность диаграммы зацепления и <math>L(K)</math> — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

• <math>L(O) = 1</math> (<math>O</math> — тривиальный узел);
• <math>L(s_r)=aL(s), \qquad L(s_\ell)=a^{-1}L(s)</math>;
• <math>L</math> не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь <math>s</math> — нить, а <math>s_r</math> (соответственно, <math>s_\ell</math>) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, <math>L</math> должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Файл:Kauffman poly.png

Рисунки представляют многочлен <math>L</math> диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовнеШаблон:Уточнить.

Кауфман показал, что <math>L</math> существует и является Шаблон:Не переведено 5 инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что <math>F</math> является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда <math>L</math> сужается до скобок Кауфмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для <math>\mathrm{SO}(N)</math> так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для <math>\mathrm{SU}(N)</math>.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Springer EoM entry for Kauffman polynomial
• The_Kauffman_Polynomial, the Knot Atlas