Русская Википедия:Многочлен Лорана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многочлен Лорана одной переменной над полем <math>\mathbb{F}</math> это линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из <math>\mathbb{F}</math>. От обычных многочленов многочлен Лорана отличается тем, что показатель степени может быть отрицательным. Многочлены Лорана представляют особый интерес для изучения в теории функций комплексного переменного (см. Ряд Лорана).

Определение

Многочлен Лорана с коэффициентами из поля <math>\mathbb{F}</math> — это выражение вида

<math> p = \sum_k p_k X^k, \quad p_k\in \mathbb{F},</math>

где X — формальная переменная, <math>k</math> — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число <math>p_k</math> неотрицательны.

Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X

<math>\left(\sum_i a_iX^i\right) + \left(\sum_i b_iX^i\right) =

\sum_i (a_i+b_i)X^i</math>

и

<math>\left(\sum_i a_iX^i\right) \cdot \left(\sum_j b_jX^j\right) =

\sum_k \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k.</math>

Т.к. количество неотрицательных коэффициентов <math>a_j</math> и <math>b_j</math> конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.

Свойства

• Многочлен Лорана над полем <math>\mathbb{C}</math> может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций.

Литература

• Шаблон:Книга