Русская Википедия:Многочлен Эрара

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке <math>t>0</math> совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в <math>t</math> раз.

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии <math>k=1</math>) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.

Названы в честь Шаблон:Iw, который изучал их в 1960-х годах.

Определение

Пусть <math>P</math> — многогранник с целыми вершинами, и <math>t\cdot P</math> — его гомотетия с целым коэффициентом <math>t</math>. Обозначим через <math>L_P(t)</math> число целых точек в <math>t\cdot P</math>. Можно доказать, что число <math>L_P(t)</math> выражается как многочлен от <math>t</math>; этот многочлен и называется многочленом Эрара.

Примеры

• <math>L_Q(t)=(t+1)^d</math> для единичного целого <math>d</math>-мерного куба <math>Q</math>.

Свойства

• (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в <math>t\cdot P</math> равно

  <math> (-1)^d \cdot L_P(-t),</math>

где Шаблон:Math — размерность Шаблон:Math.

• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и <math>\mathrm{SL}(n,\mathbb Z)</math>, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.

• Для любого <math>d</math>-мерного многогранника <math>P</math>, три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
  • свободный член многочлена Эрара равен 1.
  • Главный коэффициент при <math>t^d</math> равен объёму многогранника.
  • Коэффициент при <math>t^{d-1}</math> равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
• В частности, при <math>d=2</math> многочлен Эрара многоугольника равен

  <math>S\cdot t^2+ \tfrac{\Gamma}2\cdot t+1,</math>

где <math>S </math> есть площадь многоугольника, а <math>\Gamma</math> — число целочисленных точек на его границе. Подставив <math>t=1</math>, получаем формулу Пика.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Публикация