Русская Википедия:Многочлен узла
В теории узлов многочлен узла — это инвариант узла в виде многочлена, коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла.
История
Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.
В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея. Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса. Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY.
Вскоре после открытия Джонса Луис Кауффман заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауффмана, инвариант Шаблон:Не переведено 5 узлов. Это открыло широкую дорогу для исследований в области теории зацепления узлов и статистической механике.
В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса; Виктор Васильев и Шаблон:Iw создали теорию Шаблон:Не переведено 5 узлов. Известно, что коэффициенты упомянутых многочленов имеют конечный тип (возможно, после некоторой «подстановки переменных»).
В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с Шаблон:Не переведено 5. Градуированная эйлерова характеристика Шаблон:Не переведено 5 Ожвата и Сабо является многочленом АлександераШаблон:Sfn.
Пример
| Запись Александера — Бриггса | Многочлен Александера <math>\Delta(t)</math> | Многочлен Конвея<math>\nabla(z) </math> | многочлен Джонса <math>V(q)</math> | Многочлен HOMFLY<math>H(a,z)</math> |
|---|---|---|---|---|
| <math>0_1</math> (Тривиальный узел) | <math>1</math> | <math>1</math> | <math>1</math> | <math>1</math> |
| <math>3_1</math> (Трилистник) | <math>t - 1 + t^{-1}</math> | <math>z^2 + 1</math> | <math>q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}</math> | <math>-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}</math> |
| <math>4_1</math> (Восьмёрка) | <math>-t + 3 - t^{-1}</math> | <math>-z^2+1</math> | <math>q^2 - q + 1 - q^{-1} + q^{-2}</math> | <math>a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1</math> |
| <math>5_1</math> (Лапчатка) | <math>t^2 - t + 1 - t^{-1} + t^{-2}</math> | <math>z^4 + 3z^2 + 1</math> | <math>q^{-2} + q^{-4} - q^{-5} + q^{-6} - q^{-7}</math> | <math>-a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}</math> |
| <math>-</math> (Бабий узел) | <math>\left(t - 1 + t^{-1}\right)^2</math> | <math>\left(z^2 + 1\right)^2</math> | <math>\left(q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}\right)^2</math> | <math>\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^2</math> |
| <math>-</math> (Прямой узел) | <math>\left(t - 1 + t^{-1}\right)^2</math> | <math>\left(z^2 + 1\right)^2</math> | <math>\left(q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}\right)\left(q + q^{3} - q^{4}\right)</math> | <math>\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right) \times</math> <math>\left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)</math> |
Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите Шаблон:Не переведено 5).
Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники.
-
Левый трилистник.
-
Правый трилистник.
Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в <math>\mathbb{R}^3</math> даёт произведение многочленов узлов.
См. также
Полиномы узла
Связанные темы
- Скейн-соотношение для формального определения многочлена Александера.
Примечания
Литература
.svg){kind=link}
