Русская Википедия:Множественный коэффициент корреляции
Множественный коэффициент корреляции - Характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ1,ξ2,...,ξk) - случайный вектор из Rk, тогда коэффициент множественной корреляции <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}</math> между ξ1 и ξ2,...,ξk численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ1 и её наилучшей линейной аппроксимацией <math>M(\xi_1|\xi_2,\ldots,\xi_k)</math> по переменным ξ2...,ξk, которая представляет собой линейную регрессию ξ1 на ξ2,...,ξk.
Свойства
Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии
<math>M\xi_1=M\xi_2=\ldots=M\xi_k=0</math> когда <math>\xi_1^* = \beta_2\xi_2 + \beta_3\xi_3 + \cdots + \beta_k\xi_k</math> - это регрессия ξ1 на ξ2,...,ξk,
среди всех линейных комбинаций переменных ξ2,...,ξk переменная ξ1 будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ1*, совпадающий с <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}</math>. В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем канонического коэффициента корреляции. При Шаблон:Math множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции Шаблон:Math между ξ1 и ξ2.
Вычисление
Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы <math>\mathbf{R} = \left \{ \rho_{i,j} \right \}, i,j = 1, \ldots, k</math> по формуле
<math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}^2 = 1 - \frac{\left\vert R \right\vert}{R_{11}}</math>,
где <math>\left\vert R \right\vert</math> - это определитель корреляционной матрицы, а <math>R_{11}</math> - это алгебраическое дополнение элемента Шаблон:Math; здесь <math>0 \leqslant \rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k} \leqslant 1</math>. Если <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k} = 1</math>, тогда с вероятностью 1 значения ξ1 совпадают с линейной комбинацией ξ2,...,ξk, следовательно, совместное распределение ξ1,ξ2,...,ξk лежит на гиперплоскости в пространстве Rk. С другой стороны, при <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k} = 0</math> все парные коэффициенты корреляции Шаблон:Math равны нулю, следовательно, значения ξ1 не коррелируют с величинами ξ2,...,ξk. Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле
<math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}^2 = 1 - \frac{\sigma_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}^2}{\sigma_1^2}</math>,
где <math>\sigma_1^2</math> - это дисперсия ξ1, а <math>\sigma_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}^2 = M(\xi_1 - (\beta_2\xi_2 + \beta_3\xi_3 + \cdots + \beta_k\xi_k))^2</math> - дисперсия ξ1 относительно регрессии.
Выборочный множественный коэффициент корреляции
Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина <math>r_{1 \bullet 2,\ldots, k} =\sqrt{1 - \frac{s_{1 \bullet 2,\ldots,k}^2}{s_1^2}}</math>, где <math>s_{1 \bullet 2,\ldots,k}^2</math> и <math>s_1^2</math> - это оценки для <math>\sigma_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k}^2</math> и <math>\sigma_1^2</math>, полученные по выборке объема Шаблон:Math. Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики <math>r_{1 \bullet 2,\ldots, k}</math>. При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения, величина <math>r_{1 \bullet 2,\ldots, k}^2</math> будет обладать бета-распределением с параметрами <math>\frac{k-1}{2},\frac{n-k}{2}</math>, если <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k} = 0</math>. Для случая <math>\rho_{\xi_1\bullet\xi_2,\ldots,\xi_k} \ne 0</math> тип распределения <math>r_{1 \bullet 2,\ldots, k}^2</math> известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.
См. также
Литература
- Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
- Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.
