Русская Википедия:Модель Васичека
Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная равновесная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки.
Описание
Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.
Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (Шаблон:Lang-en): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.
Недостаток модели Васичека заключается в использовании нормального распределения для коэффициента дрифта волатильности, что теоретически допускает отрицательные значения ставки.
Математическая модель
Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека)[1]:
<math>dr_t=\alpha(\beta - r_t)\Delta t +\sigma \epsilon\sqrt{\Delta t}</math>,
где:
- <math>\epsilon\sqrt{\Delta t}</math> — винеровский процесс (<math>\epsilon</math> — случайный выбор из стандартного нормального распределения в момент t: <math>\epsilon \left(t\right) \sim \mathrm{N} \left( 0, 1 \right)</math>),
- <math>\beta</math> — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
- <math>\alpha</math> — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению (<math>0 \le \alpha \le 1</math>),
- <math>\sigma</math> — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.
В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.
Решение уравнения
Решение уравнения Васичека имеет вид:
<math> r_t = r_0 e^{-\alpha t} + \beta (1- e^{-\alpha t}) + \sigma e^{-\alpha t}\int_0^t e^{\alpha s} dW_s</math>
Математическое ожидание и волатильность ставки равны:
<math>E(r_t)=r_0 e^{-\alpha t}+ \beta(1- e^{-\alpha t})=\beta +(r_0 - \beta) e^{-\alpha t}~,~~V(r_t)=\frac {\sigma^2} {2 \alpha} (1- e^{-2\alpha t})</math>
Следовательно при <math>t \rightarrow \infty</math> имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность <math>E(r)=\beta~,~~V(r)=\frac {\sigma^2} {2 \alpha}</math>
Кривая доходности
Уравнение кривой доходности (срочной структуры процентных ставок), соответствующее модели Васичека имеет вид:
<math>R(t)=R_{\infty}+(r_0-R_{\infty})\frac {1-e^{-\alpha t}}{\alpha t}+\frac {\sigma^2 (1-e^{-\alpha t})^2}{4 \alpha^3 t}~,~~R_{\infty}=\lim_{t \rightarrow \infty} R(t)=\beta+\lambda\sigma/a-0.5 \sigma^2/\alpha^2</math>
<math>\lambda</math>-рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.
См. также
Примечания
