Русская Википедия:Модель Дебая

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Статистическая физика В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна <math>T^3</math>. В пределе высоких температур молярная теплоёмкость, согласно закону Дюлонга — Пти, стремится к <math>3R</math>, где <math>R</math> — универсальная газовая постоянная.

Дебай при построении своей теории принял следующие предположения:

1. Твёрдое тело представляет собой непрерывную среду.
2. Эта среда упруго изотропна.
3. В среде отсутствует дисперсия.
4. Упругие свойства среды не зависят от температуры.

При тепловом равновесии энергия <math>E</math> набора осцилляторов с различными частотами <math>\omega_\mathbf{K}</math> равна сумме их энергий:

<math> E = \sum_\mathbf{k}{\langle n_\mathbf{k} \rangle \hbar \omega_\mathbf{k}} = \int{D(\omega) n(\omega) \hbar \omega d\omega},</math>

где <math>D(\omega)</math> — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, <math>n(\omega)</math> — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой <math>\omega</math>.

Функция плотности <math>D(\omega)</math> в трёхмерном случае имеет вид:

<math>D(\omega)=\frac{V\omega^2}{2\pi^2 v^3},</math>

где <math>V</math> — объём твёрдого тела, <math>v</math> — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

<math>n=\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{k_BT}-1}.</math>

Тогда энергия запишется в виде:

<math>E = \int\limits_0^{\omega_D}{\left(\frac{\omega^2V}{2\pi^2v^3}\right)\left(\frac{\hbar\omega}{e^\frac{\hbar\omega}{k_BT}-1}\right) d\omega},</math>

<math>\frac{E}{Nk_B} = 9T \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}{x^3\over e^x-1}\, dx,</math>

где <math>T_D</math> — температура Дебая, <math>N</math> — число атомов в твёрдом теле, <math>k_B</math> — постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получим:

<math>\frac{c_v}{Nk_B} = 9 \left({T\over T_D}\right)^3\int\limits_0^{T_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\, dx.</math>

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая

В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

<math>n_1\frac{\lambda_x}2=a,\ n_2\frac{\lambda_y}2=b,\ n_3\frac{\lambda_z}2=c,</math>

где <math>n_1,\ n_2,\ n_3</math> — целые числа.

Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку <math>k=2\pi/\lambda</math>, то

<math>k_x=\frac{2\pi}{\lambda_x}=\pi\frac{n_1}{a},\ k_y=\frac{2\pi}{\lambda_y}=\pi\frac{n_2}{b},\ k_z=\frac{2\pi}{\lambda_z}=\pi\frac{n_3}{c}.</math>

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в <math>k</math>-пространстве соответствует ячейка с объёмом

<math>\tau=\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z=\frac{ \pi^3}{a\cdot b\cdot c}=\frac{ \pi^3}{V},</math>

где

<math>\Delta k_x=\frac{\pi}{a},\ \Delta k_y=\frac{\pi}{b},\ \Delta k_z=\frac{\pi}{c}.</math>

В <math>k</math>-пространстве осцилляторам с частотами в интервале <math>(\omega, \omega+d\omega)</math> соответствует один октант сферического слоя с объёмом

<math>dV_k=\frac{4\pi k^2dk}{8}=\frac{\pi k^2dk}{2}.</math>

В этом объёме количество осцилляторов равно

<math>dN_k=\frac{dV_k}{\tau}=\frac{Vk^{2}dk}{2\pi^2}</math>

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом <math>k_\parallel=\frac{\omega}{v_\parallel},\ k_\perp=\frac{\omega}{v_\perp}</math>.

Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой:

<math>k^2 =k_ \|^2 + 2k_ \bot^2 =\left ( \frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right) \omega^2,</math>

<math>d N_k =\frac{V}{2 \pi^2} \left (\frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right)^{\frac{3}{2}} \omega^2 d \omega =A \omega^2 d \omega.</math>

Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты <math> \omega_m</math>. Определим граничную частоту из условия:

<math>N =\int d N_k =\int_0^{\omega_ m} A \omega^2 d \omega =A \frac{\omega_m^3}{3} =3 N_A,</math>

<math> d N_k =9N_A \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m}.</math>

Отсюда внутренняя энергия одного моля:

<math> U_M =\int \langle\varepsilon\rangle d N_k =\int_0^{\omega_m} \hbar \omega \left (\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{k_B T} - 1} + \frac{1}{2} \right) 9N_A \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m},</math>

где <math>\langle\varepsilon\rangle</math> — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна),

<math>k_B</math> — постоянная Больцмана,

<math>N_A</math> — число Авогадро.

В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:

<math>X=\frac{\hbar \omega}{k_B T}</math>; <math>\hbar\omega_m=k_B\Theta</math>; <math>X_m =\frac{\hbar \omega _m }{k_B T}=\Theta /T</math>; <math>\frac{\omega}{\omega _m}=X\frac{k_B T}{\hbar}\frac{\hbar}{k_B\Theta}=X\frac{T}{\Theta}=X\frac{k_B T}{\hbar \omega _m},</math>

<math>\Theta</math> — температура Дебая.

Теперь для <math>U_M</math> получим

<math>U_M =9N_A \hbar \int_0^{\omega _m} \left (\frac{1}{e^X - 1} + \frac{1}{2} \right) \frac{\omega^3 d\omega}{\omega^3 _m} =9N_A \hbar \left (\frac{T}{\Theta} \right)^3 \frac{k_B T}{\hbar} \int_0^{\frac{\Theta}{T}} \left (\frac{1}{e^x - 1} + \frac{1}{2} \right) x^3 dx =</math>

<math>=9RT \left (\frac{T}{\Theta} \right)^3 \int_0^{\frac{\Theta}{T}} \left(\frac{1}{e^x-1} + \frac{1}{2}\right) x^3 dx =9R \Theta \left [\frac{1}{8} + \left (\frac{T}{\Theta} \right)^4 \int_0^{\frac{\Theta}{T}} \frac{x^3dx}{e^x - 1}\right].</math>

Наконец, для молярной теплоёмкости получаем

<math>C=\frac{dU_M}{dT}=3R \left [ 12{\left ( \frac{T}{\Theta } \right ) }^3 \int_0^{\Theta /T} \frac{x^3}{e^x-1} dx - \frac{3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}\right ]. </math>

Легко проверить, что при условии <math>T\to\infty</math> теплоёмкость <math>C\to3R</math>, а при условии <math>T\to0</math> теплоёмкость <math>C\to\frac{12\pi^4}{5}\cdot R \cdot \left(\frac{T}{\Theta}\right)^3\sim T^3.</math>

Интеграл <math>\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} dx =\frac{\pi ^4}{15}</math> может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.

Литература

• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика