Русская Википедия:Модель Изинга
Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.
Описание
Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из <math>2^N</math> возможных вариантов расположения спинов (где <math>N</math> — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:
<math>E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j \, ,</math>
где <math>J</math> — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле <math>h</math> (часто полагаемое малым):
<math>H = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j - h \sum_i S_i.</math>
Затем, для заданной Шаблон:Iw <math> \beta=1/k_B T </math> на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной <math> e^{-\beta E(S)}</math>, и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов <math>N</math>.
Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (при <math>J>0</math>) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Л. Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования и ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.
Введённая изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стёклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т. д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.
Для одномерной и двумерной моделей Изинга получены точные решения: для одномерной модели самим Изингом, для двумерной — Онсагером в 1944 годуШаблон:Sfn.
Одномерная модель Изинга
В случае одного измерения модель Изинга может быть представлена в виде цепочки взаимодействующих спинов. Для такой модели найдено точное решение, но в общем случае задача не имеет аналитического решения.
Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере
- Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
- Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
- Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
- Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной <math>e^{-\beta E(S)}</math>, где <math> E(S)</math> — энергия в соответствующем состоянии (поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
- Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.
Приложения
В 1982 году Хопфилдом был доказан изоморфизм модели Изинга и рекуррентных моделей нейронных сетейШаблон:Sfn.
Квантовый компьютер компании D-Wave Systems основан на модели Изинга. Однако эффективность компьютера вызывает вопросы, что явилось причиной новых исследований, цель которых корректно сравнить классические алгоритмы и алгоритмы для компьютеров DWave. Оказалось, что существуют задачи, на которых адиабатический квантовый компьютер заведомо не является эффективнее классическогоШаблон:Sfn.
См. также
- Решёточная модель (физика)
- Нейронная сеть Хопфилда
- Станислав Смирнов — лауреат Филдсовской премии (2010) «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике»
Примечания
Комментарии
Источники
Литература
Книги
Научные статьи
Шаблон:Разделы статистической физики
