Русская Википедия:Модель Хестона
В финансовой математике, модель Хестона — это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности[1]. Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определённому случайному процессу.
Базовая модель Хестона
Базовая модель Хестона предполагает, что St, цена актива, определяется стохастическим процессом:[2]
- <math>
dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW^S_t \, </math>
где <math>\nu_t</math>, мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:
- <math>
d\nu_t = \kappa(\theta - \nu_t)\,dt + \xi \sqrt{\nu_t}\,dW^{\nu}_t \, </math>
а <math>{\scriptstyle dW^S_t, \; dW^{\nu}_t}</math> — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.
Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:
- μ — частота возвращения актива.
- θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение νt стремится к θ.
- κ — частота, с которой νt возвращается к θ.
- ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию νt.
Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс <math>\nu_t</math> строго положителен[3]
- <math>
2 \kappa_t \theta \ge \xi^2 \, . </math>
Обобщения
Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.
Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:
- <math>
dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW^S_t \, . </math>
Здесь <math>\nu_t</math>, мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:
- <math>
d\nu_t = \kappa_t(\theta_t - \nu_t)\,dt + \xi_t \sqrt{\nu_t}\,dW^{\nu}_t \, </math>
а <math>{\scriptstyle dW^S_t, \; dW^{\nu}_t}</math> — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.
Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.
- <math>
dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu^1_t} S_t\,dW^{S,1}_t + \sqrt{\nu^2_t} S_t\,dW^{S,2}_t \, </math>
- <math>
d\nu^1_t = \kappa^1(\theta^1 - \nu^1_t)\,dt + \xi^1 \sqrt{\nu^1_t}\,dW^{\nu^1}_t \, </math>
- <math>
d\nu^2_t = \kappa^2(\theta^2 - \nu^2_t)\,dt + \xi^2 \sqrt{\nu^2_t}\,dW^{\nu^2}_t \, </math>
Существенное обобщение модели Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:
- <math> dr_t = (\theta_t-r_t)\,dt + \sqrt{r_t}\,\sigma_t\, dW_t,</math>
- <math> d \alpha_t = (\zeta_t-\alpha_t)\,dt + \sqrt{\alpha_t}\,\sigma_t\, dW_t,</math>
- <math> d \sigma_t = (\beta_t-\sigma_t)\,dt + \sqrt{\sigma_t}\,\eta_t\, dW_t.</math>
Реализация
Тонкости реализации модели Хестона с правильным учётом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.[4]
Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.[5]
Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.[6]
Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.[7]
Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена[8] и Готье. [9]
См. также
- Стохастическая волатильность
- Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
- Теорема Гирсанова
- Мартингал
- Модель волатильности SABR
Примечания
