Русская Википедия:Модифицированное Z-преобразование

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

<math>F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}</math>

где

• T — период дискретизации
• m («параметр смещения») — часть периода дискретизации <math>[0, T).</math>

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

<math>Z \left[ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right] = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m).</math>

Сдвиг по времени

<math>Z \left[ u(t - n T)f(t - n T) \right] = z^{-n} F(z, m).</math>

Ослабление

<math>Z \left[ f(t) e^{-a\, t} \right] = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).</math>

Умножение аргумента

<math>Z \left[ t^y f(t) \right] = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).</math>

Теорема о конечном значении

<math>\lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{k = 1+} F(z, m).</math>

Таблица основных преобразований

f(t)	F(z, m)
1(t)	<math>\frac{z}{z-1}</math>
t	<math>\frac{zmT}{z-1} + \frac{zT}{(z-1)^2}</math>
e-at	<math>\frac{ ze^{-amT} }{ z-e^{-aT} }</math>
1 — e-at	<math>\frac{z}{z-1} - \frac{ ze^{-amT} }{ z-e^{-aT} }</math>
sin ωt	<math>\frac{z^2 \sin {(m \omega T)} + z\sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }</math>

Пример

Пусть оригинал для преобразования <math>f(t) = \cos(\omega t)</math>. Тогда:

<math>F(z, m) = Z \left[\cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right]</math>

<math>F(z, m) = Z \left[\cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right]</math>

<math>F(z, m) = \cos(\omega m) Z \left[ \cos (\omega k T) \right] - \sin (\omega m) Z \left[ \sin (\omega k T) \right]</math>

<math>F(z, m) = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}</math>

<math>F(z, m) = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}.</math>

Если <math>m=0</math>, то <math>F(z, m)</math> совпадает с Z-преобразованием:

<math>F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}</math>