Русская Википедия:Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера
Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером[1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе
- <math>U(x) = \frac{-U_0}{\mathrm{ch}^2 ax} = -U_0\, \mathrm{sech}^2 ax</math>
Глубина потенциальной ямы <math>U_0</math> обычно параметризуется в виде:
- <math>U_0=\frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \lambda(\lambda - 1)</math>.
Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.
Уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера
Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:
- <math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \Psi(x)-\frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \frac{\lambda(\lambda-1)}{\mathrm{ch}^2 ax}\Psi(x) = E \Psi(x).</math>
Если ввести обозначение <math>k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}</math>, то оно примет вид:
- <math>\Psi(x)+ \left(k^2 + a^2 \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\mathrm{ch}^2 ax}\right)\Psi(x) = 0.</math>
Решение через гипергеометрические функции
После замены переменных
- <math>y = \mathrm{ch^2} ax</math>
получим
- <math>y(1 - y)\Psi(y) + \left( \frac{1}{2} - y \right)\Psi'(y) - \left( \frac{k^2}{4 a^2} - \frac{\lambda(\lambda-1)}{4 y}\right)\Psi(y) = 0.</math>
Если подставить решение в виде
- <math>\Psi(y) = y^{\frac{\lambda}{2}} v(y)</math>,
то уравнение приводится к гипергеометрическому виду
- <math>y (1 - y) v(y) + \left(\left(\lambda + \frac{1}{2}\right) -(\lambda - 1) y\right) v'(y) - \frac{1}{4} \left( \lambda^2 + \frac{k^2}{a^2} \right) v = 0</math>
Обозначая
- <math> a = \frac{1}{2} \left( \lambda + i \frac{k}{a} \right) \qquad b = \frac{1}{2} \left( \lambda - i \frac{k}{a} \right)</math>
общее решение примет вид
- <math> v(y) = A \; _2 F_1 \left(a,b; \frac{1}{2}; 1 - y \right) + i B (1 - y)^{\frac{1}{2}} \; _2 F_1 \left(a + \frac{1}{2},b + \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1 - y\right) </math>
В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:
- <math> \hat{P} \Psi_{\pm}(x)= \pm \Psi_{\pm} (x),</math>
Чётное решение соответствует <math>A=1</math> и <math>B=0</math>
- <math> \Psi_+(x) = \mathrm{ch}^{\lambda} ax \; _2 F_1 \left(a,b; \frac{1}{2}; - \mathrm{sh}^2 ax \right)</math>
Нечётное решение соответствует <math>A=0</math> и <math>B=1</math>
- <math> \Psi_-(x) = \mathrm{ch}^{\lambda} ax \; \mathrm{sh} ax \; _2 F_1 \left(a + \frac{1}{2},b + \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; - \mathrm{sh}^2 ax \right)</math>
Энергия связанных состояний
Для удобства обозначим <math>k = i \kappa</math>, тогда энергия запишется как
- <math>E = - \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2 m}.</math>
Параметры гипергеометрических функций примут вид
- <math>a = \frac{1}{2} \left(\lambda - \frac{\kappa}{a}\right) \qquad b = \frac{1}{2} \left(\lambda + \frac{\kappa}{a}\right).</math>
Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид
- <math>\frac{\kappa}{a} = \lambda - 2 - 2 k</math>,
для чётных
- <math>\frac{\kappa}{a} = \lambda - 1 - 2 k</math>
Объединяя эти условия, получим уровни энергии:
- <math>E_n = - \frac{\hbar^2 a^2}{2 m} (\lambda - 1 - n)^2, \qquad n \leqslant \lambda -1, \; n \in \mathbb{Z}_+</math>
Коэффициенты отражения и прохождения
Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:
- <math>R = \frac{1}{1 + p^2}, \qquad T = \frac{p^2}{1 + p^2},</math>
где введено обозначение
- <math>p = \frac{\mathrm{sh} \frac{\pi k}{a}}{\sin \pi \lambda}.</math>
При <math>\lambda \in \mathbb{Z}_+</math> получим, что <math>p = \infty</math> и
- <math>R = 0, \qquad T = 1.</math>
Таким образом, при <math>\lambda \in \mathbb{N}</math> модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.
Решение через функции Лежандра
Заменой <math>u = \mathrm{th}ax</math> уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению
- <math> ((1 - u^2) \Psi'(u))' + \lambda(\lambda-1) \Psi(u) + \left( \frac{k}{a} \right)^2 \frac{1}{1 - u^2} \Psi(u) = 0.</math>
Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра
- <math>\Psi(u) = A P_{\lambda - 1}^{\mu}(u) + B Q_{\lambda -1 }^{\mu}(u),</math>
где <math>\mu = i k/a</math>.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Модели квантовой механики
