Русская Википедия:Модуль автоморфизма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Стиль Модуль автоморфизма — вещественное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму, локально компактной группы.

Если <math>G</math> — такая группа и <math>A</math> — некоторый автоморфизм группы <math>G</math> как топологической группы, то модуль автоморфизма а определяется формулой

<math>mod(A)=\mu A(S)/\mu S</math>?, где <math>\mu</math> — левоинвариантная мера Хаара на группе <math>G</math> и <math>S</math> — любое компактное подмножество группы <math>G</math> положительной меры (причем <math>mod(A)</math> не зависит от выбора <math>S</math>).

Если <math>G</math> компактна или дискретна, то всегда <math>mod(A)= 1</math>, так как для компактной группы можно положить <math>S=G</math>, а для дискретной <math>S = a</math>, где <math>a</math> — любой элемент <math>G</math>.

Если <math>A</math> и <math>A'</math> — два автоморфизма группы G, то

<math>mod (A\circ A)= mod(A) mod(A').</math>

Если <math>\Gamma</math> — некоторая топологическая группа, которая непрерывно действует на группе <math>G</math> автоморфизмами, то <math>mod</math> определяет непрерывный гомоморфизм <math>mod:\Gamma\to \R_+</math> где <math>\R_+</math> — мультипликативная группа вещественных положительных чисел.

В частности, сопоставляя каждому элементу <math>a\in G</math> порождаемый им внутренний автоморфизм группы <math>G</math> и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм <math>G</math> в группу <math>\R_+</math>. Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе <math>G</math> является одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, называются унимодулярными.

Литература

• James E. Humphreys Arithmetic Groups, Lecture Notes in Mathematics 789, Springer Verlag 1980, p. 2.