Русская Википедия:Модулярная группа
Модулярная группа — группа <math>\Gamma</math> всех преобразований Мёбиуса вида
- <math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},</math>
где <math>a,\;b,\;c,\;d</math> — целые числа, причём <math>ad-bc=1</math>.
Модулярная группа отождествляется с факторгруппой <math>PSL(2,\Z)=SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}</math>. Здесь <math>SL(2,\;\Z)</math> — группа матриц
- <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},</math>
где <math>a,\;b,\;c,\;d</math> — целые числа, <math>ad-bc=1</math>.
Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости <math>H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\}</math> (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими
- <math>S:z\mapsto -1/z,</math>
- <math>T:z\mapsto z+1</math>
и соотношениями <math>S^2=(ST)^3=1</math>, то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой <math>S</math>, и циклической группы порядка 3, порождённой <math>ST</math>.
Для произвольного преобразования <math>g(z) = \frac{az+b}{cz+d}</math> из модулярной группы справедливо равенство:
- <math>\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)</math>
Поскольку мнимая часть <math>z</math> ненулевая, а числа <math>c</math> и <math>d</math> — целые, не равные нулю одновременно, то величина <math>|cz+d|^2</math> отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.
Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область
- <math>D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.</math>
Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из <math>D</math>. Из этого следует, что для того, чтобы две точки <math>z,\;g(z)</math> принадлежали <math>D</math>, их мнимая часть должна быть одинакова: <math>|cz+d|^2=1</math>. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:
- <math>g(z)=z,\;z</math> — любая точка;
- <math>g(z)=z-1,\;\mathrm{Re}\,z=1/2;</math>
- <math>g(z)=z+1,\;\mathrm{Re}\,z=-1/2;</math>
- <math>g(z)=-1/z,\;|z|=1.</math>
В частности, все точки области <math>D</math> имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:
- <math>\mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};</math>
- <math>\mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};</math>
- <math>\mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.</math>
Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки <math>D</math> отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой <math>\mathrm{Re}\,z=0</math>.
Чтобы показать, что всякая точка из <math>H</math> конгруэнтна некоторой точке из <math>D</math>, рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями <math>S</math> и <math>T</math>, точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит <math>D</math> (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования <math>S</math> можно было бы строго увеличить мнимую часть).
Легко показать также, что преобразования <math>S</math> и <math>T</math> порождают всю модулярную группу. Пусть <math>g</math> — произвольное модулярное преобразование и <math>z</math> — внутренняя точка <math>D</math>. Как описано выше, найдём преобразование <math>g'</math> переводящее <math>g(z)</math> в область <math>D</math>. Точки <math>z</math> и <math>g'g(z)</math> лежат в <math>D</math>, причём <math>z</math> — внутренняя, следовательно, <math>g'g(z)=z</math>. Тогда преобразование <math>g'g</math> лежит в стабилизаторе точки <math>z</math>, который тривиален. Следовательно, <math>g=(g')^{-1}</math> лежит в группе, порождённой преобразованиями <math>S</math> и <math>T</math>.
Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство <math>H/\,\Gamma</math>, отождествляемое с фундаментальной областью <math>G</math> модулярной группы. Фундаментальная область <math>G</math> имеет конечную площадь (в смысле геометрии Лобачевского), то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.
