Русская Википедия:Модулярная решётка

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов <math>a, b \in L</math> модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

<math>\forall x \in L: x \leqslant b \Rightarrow x \vee (a \wedge b) = (x \vee a) \wedge b</math>.

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

Файл:Smallest nonmodular lattice 2.svg
<math>N_5</math> — наименьшая немодулярная решётка

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон <math>N_5</math>, любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки <math>a</math> и <math>b</math> интервалы <math>[a \wedge b, b]</math> и <math>[a, a \vee b]</math> изоморфны, прямое отображение: <math>\phi(x) = x \vee a</math>, обратное — <math>\psi (y) = y \wedge b</math>.

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент <math>a</math> называется левомодулярным, если для любого элемента <math>b</math> пара <math>a, b</math> модулярна.

Элемент <math>b</math> называется правомодулярным, если для любого элемента <math>a</math> пара <math>a, b</math> модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.

Литература

Шаблон:Algebra-stub

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Модулярная_решётка&oldid=10396760