Русская Википедия:Можно ли услышать форму барабана?
«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса, восходящий к Герману Вейлю.
Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?
Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца, опубликованной в 1966 году[1]. Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен Шаблон:Нп1 в 1967 году и Шаблон:Нп1 в 1968 году[2].
Формулировка
Барабан мыслится как плоская область <math>D</math>, граница которой фиксирована. Обозначим через <math>\lambda_n</math> её n-ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения <math>\lambda</math>, для которых существует функция <math>u\colon D\to \mathbb R</math> такая, что
- <math>
\begin{cases} \Delta u + \lambda u = 0,\\ u|_{\partial D} = 0. \end{cases} </math> Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.
Поэтому вопрос можно переформулировать так:
- Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?
Вариации
Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.
Ответы
Плоские торы
Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.
Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».
Области на плоскости
В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).
Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.
Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».
Частные случаи
Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.
- Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
- По теореме Иврия тоже верно и для периметров областей с гладкой границей.[4]
- Если область выпукла, а её граница аналитическая, то спектр позволяет однозначно установить её форму.Шаблон:Нет АИ
- Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
- Известно, что множество изоспектральных областей компактно в <math>C^{\infty}</math>-топологии.
- По Шаблон:Нп1 сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.
Примечания
Литература
Ссылки
- Some planar isospectral domains by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:SpringerEOM
