Русская Википедия:Молекулярно-кинетическая теория
Молекуля́рно-кинети́ческая тео́рия (МКТ) — теория, созданная в XIX в., рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближённо верных положений:
- все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;
- частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
- частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.
МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена многочисленными опытными фактами. Главным доказательством состоятельности МКТ явилось объяснение на её основе таких явлений как диффузия, броуновское движение и изменение агрегатных состояний вещества.
На базе МКТ развит ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика. В этих разделах изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.
История теории
Началом становления МКТ послужила теория М. В. Ломоносова[1][2]. Ломоносов опытным путём опроверг теории о теплороде и флогистоне, подготовив тем самым, молекулярно-кинетическую теорию XIX века Рудольфа Клаузиуса, Людвига Больцмана и Джеймса Максвелла.
Основное уравнение МКТ
Основное уравнение МКТ имеет вид
- <math> P = \frac{1}{3}mn\overline{v^2}</math>.
Оно связывает макроскопические параметры (такие как давление <math>P</math>, объём <math>V</math>, температура <math>T</math>) газа с микроскопическими (масса частиц, средняя скорость их движения). В приведённой формуле <math>m</math> — масса одной молекулы газа, <math>n</math> (м-3) — концентрация молекул, <math>\overline{v^2}</math> — средний квадрат скорости молекул. Уравнение может быть переписано так, чтобы <math>V</math> и <math>T</math> в него входили явно.
Релятивистское выражение для этой формулы[3]
- <math> P = \frac {2 \rho c^2 }{3} \left((1- \overline{v^2}/ c^2)^{-1/2}-1 \right) </math>,
где <math>\rho = m n </math> — плотность движущегося вещества, <math> c </math> — скорость света. В пределе малых скоростей выражение превращается в <math>P \approx \rho \overline{v^2}/3</math>.
Вывод основного уравнения
Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной <math>L</math> и одна частица массой <math>m</math> в нём. Введя координатные оси так, чтобы они были параллельны рёбрам куба, рассмотрим движение частицы вдоль оси <math>x</math> и соударения с одной из граней (стенок), параллельных плоскости <math>yz</math>.
Обозначим компоненту скорости движения вдоль оси <math>x</math> через <math>v_x</math>. Модуль этой компоненты неизменен всё время, но знак меняется при соударениях со стенкой. <math>x</math>-составляющая импульса частицы до её столкновения со стенкой равна <math>mv_x</math>, а после столкновения <math>-mv_x</math>, поэтому стенке передаётся импульс
- <math>\Delta p = 2m|v_x|</math>.
Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой:
- <math>\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}</math>.
Сила, действующая со стороны частицы на стенку, равна нулю всё время, кроме момента удара, в модели считаемого бесконечно коротким, когда эта сила бесконечна. Поэтому можно говорить не о «мгновенной», а об эффективной силе:
- <math>F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{mv_x^2}{L}</math>.
Если в сосуде не одна, а <math>N</math> не взаимодействующих между собой частиц, то сила будет суммироваться по всем частицам. При этом, по-прежнему, модуль <math>x</math>-проекции скорости отдельной частицы неизменен, но для разных частиц различен. Соответственно, появляется усреднение квадрата проекции скорости:
- <math>F_{\Sigma} = F_{1} + F_{2} + \ldots + F_{N} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}</math>.
Скорость частицы состоит из трёх компонент, и из теоремы Пифагора <math>v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2</math>. Это равенство можно усреднить по всем частицам:
- <math>\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}</math>,
причём, ввиду эквивалентности направлений, три члена в правой части обязаны быть одинаковыми. В результате
- <math>\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\,\overline{v^2}</math>,
после чего получается
- <math>F_{\Sigma} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}</math>.
Если учесть, что давление есть сила на единицу площади, а <math>S=L^2</math>, имеем
- <math>P = \frac{F_{\Sigma}}{S} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}</math>,
где <math>V</math> — объём рассмотренного кубического сосуда. Это и есть основное уравнение МКТ, поскольку <math>N/V = n</math>.
Температура в уравнении МКТ
Кинетическая энергия движения <math>N</math> молекул газа может быть записана как
- <math>K_{\Sigma} = N\frac{1}{2} m\overline{v^2} = N \overline{\frac{mv^2}{2}} = N\overline{K}</math>,
где через <math>K</math> обозначена кинетическая энергия одной частицы. В этих обозначениях основное уравнение МКТ переписывается в виде
- <math>PV = \frac{2}{3} K_{\Sigma}</math>.
Согласно уравнению состояния идеального газа,
- <math>PV = Nk_BT</math>,
где <math>T</math> — температура. а <math>k_B</math> — постоянная Больцмана. Из сравнения двух последних выражений видно, что
- <math>\overline{K} = \frac{3}{2}\,k_BT</math>,
то есть что температура выступает мерой средней кинетической энергии частиц.
При потребности в формулах можно провести преобразования с использованием соотношений для количества вещества (числа молей) <math>\nu = N/N_A</math> (<math>N_A</math> — постоянная Авогадро) и газовой постоянной <math>R = N_Ak_B</math>.
Средняя скорость частиц
Понятием «средняя скорость» охватывается несколько величин. Одна из средних скоростей, так называемая среднеквадратичная скорость, — это корень из среднего квадрата скорости:
- <math>\overline{v_q} =\sqrt{\overline{v^2}}</math>.
Она может быть выписана на основе уравнений выше, учитывая, что там фигурировала <math>\overline{v^2}</math>, а именно:
- <math> \overline{v_q} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}</math>.
Если учесть, что <math>N_A m = M</math>, где <math>M</math> — молярная масса газа, получим[4]
- <math>\overline{v_q} = \sqrt{\frac{3k_BTN_A}{M}}</math>.
Другие средние скорости (например, средний модуль скорости) не могут быть определены таким образом, для их нахождения используется распределение Максвелла.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
- Гиршфельд Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961
- Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л., 1975
- Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М., 1996
- ↑ Фигуровский Н. А. Очерк общей истории химии. От древнейших времен до начала XIX в. — М.: Наука, 1969
- ↑ Михаил Васильевич Ломоносов. Избранные произведения в 2-х томах. М.: Наука. 1986
- ↑ Шаблон:Публикация // Потенциалы поля ускорений и поля давления во вращающейся релятивистской однородной системе Шаблон:Wayback.
- ↑ Шаблон:Книга
