Русская Википедия:Момент силы
Шаблон:Дзт Шаблон:Дзт Шаблон:Физическая величина Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы <math>\vec{r}</math> и вектора силы <math>\vec{F}</math>. Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.
Момент силы обозначается символом <math>\vec{M}</math> или, реже, <math>\vec{\tau}</math> (тау).
Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.
Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось <math>M_{\parallel}</math>; такая проекция называется моментом силы относительно оси.
Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела <math>\vec{L}</math> относительно того же начала O со временем <math>t</math>: имеет место соотношение <math>d\vec{L}/dt = \vec{M}</math>. В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.
Определение, общие сведения
В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.
В простейшем случае, если сила <math>\vec{F}</math> приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины <math>F</math> на расстояние <math>x</math> от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:
- <math> M = Fx </math>.
Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.
Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации <math>F_1x_1 = F_2x_2</math>.
Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения <math>Fx</math> требует универсализации.
Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).
Момент силы относительно точки
В общем случае момент силы <math>\vec{F}</math>, приложенной к телу, определяется как векторное произведение
- <math>\vec M = \left[\vec r\times\vec F\right]</math>,
где <math>\vec{r}</math> — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор <math>\vec{M}</math> перпендикулярен векторам <math>\vec{r}</math> и <math>\vec{F}</math>.
Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела <math>\vec{L}</math>, то начало O всегда выбирается одинаковым для <math>\vec{L}</math> и <math>\vec{M}</math>.
Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.
В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:
- <math>\vec M = \sum_i\left[\vec{r}_i\times\vec{F}_i\right]</math>,
где <math>\vec{r}_i</math> — радиус-вектор точки приложения <math>i</math>-й силы <math>\vec{F}_i</math>. В случае силы, распределённой с плотностью <math>d\vec{F}/dV</math>,
- <math>\vec M = \int\limits_V\left[\vec{r}\times\frac{d\vec{F}}{dV}\right]dV</math>.
Если <math>d\vec{F}/dV</math> (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента <math>\vec{M}</math> на ось, то есть
- <math>M_{\parallel} = \vec{M}\cdot \vec{e}_o</math>,
где <math>\vec{e}_o</math> — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как
- <math>M_{\parallel} = \pm\left|\vec{r}_{\perp}\times\vec{F}_{\perp}\right|</math>,
где через <math>\vec{r}_{\perp}</math> и <math>\vec{F}_{\perp}</math> обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.
В отличие от момента силы <math>\vec{M}</math>, величина момента силы относительно оси <math>M_{\parallel}</math> не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.
Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а <math>M_{\parallel}</math> (как и <math>\vec{M}</math>) именоваться «моментом силы».
Единицы измерения
Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.
Формально, размерность <math>\vec{M}</math> (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.
Некоторые примеры
Формула момента рычага
Момент силы, действующей на рычаг, равен
- <math>\vec{M} = r F \sin\alpha\cdot\vec{e}_o</math>
или, если записать момент силы относительно оси,
- <math>M_{\parallel} = r F\sin\alpha</math>,
где <math>\alpha</math> — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно <math>r\sin\alpha</math>. Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при <math>\alpha = \pi/2 </math>. При сонаправленности <math>\vec{F}</math> и рычага момент равен нулю.
Статическое равновесие
Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.
Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: <math>\Sigma F_{horizontal}=0,\, \Sigma F_{vertical}=0</math> и момент силы в третьем измерении: <math>\Sigma M=0</math>.
Движение твёрдого тела
Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.
Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.
- <math>\vec{L_o} = I_c\,\vec\omega + [M(\vec{r_o} - \vec{r_c}), \vec{v_c}].</math>
Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.
Продифференцируем это выражение по времени. И если <math>I</math> — постоянная величина во времени, то
- <math>\vec M = I\frac{d\vec\omega}{dt} = I\vec\alpha,</math>
где <math>\vec\alpha</math> — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.
Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:
- <math>\vec{M_c} = I_c\frac{d\vec\omega}{dt} + [\vec w, I_c\vec w].</math>
Связь с другими величинами
С моментом импульса
Момент силы — производная момента импульса <math>\vec L = \vec{r}\times\vec{p}</math> относительно точки O по времени:
- <math>\vec M = \frac{d\vec L}{dt}</math>,
Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:
- <math>M_{\parallel} = \frac{dL_{\parallel}}{dt}</math>.
Если момент силы <math>\vec{M}</math> или <math>M_{\parallel}</math> равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.
С мощностью
Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность <math>\vec{F}\cdot\vec{v}</math> (где <math>\vec{v}</math> — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность
- <math>P = \vec M \cdot \vec\omega</math>.
В системе СИ мощность <math>P</math> измеряется в ваттах, угловая скорость <math>\vec{\omega}</math> — в радианах в секунду.
С механической работой
Если под действием момента силы <math>\vec{M}</math> происходит поворот тела на угол <math>d\varphi</math>, то совершается механическая работа
- <math>dA = \left|\vec{M}\right|d\varphi</math>.
Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол <math>\varphi_2-\varphi_1</math> получим
- <math>A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left|\vec M\right| d\varphi = \left|\vec M\right| (\varphi_2-\varphi_1) = \left|\vec M\right|\int_{t_1}^{t_2} \omega(t)dt</math>.
В системе СИ работа <math>A</math> измеряется в джоулях, угол — в радианах.
Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию <math>2\pi</math> джоуля.
Измерение момента силы
Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.
Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.
Из истории понятия
Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы <math>\vec F</math> на рычаг <math>\vec r</math>, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.
Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок <math>dl</math>, которому соответствует бесконечно малый угол <math>d\varphi</math>. Обозначим через <math>d\vec{l}</math> вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка <math>dl</math> и равен ему по модулю. Угол между векторами <math>\vec F</math> и <math>d\vec{l}</math> равен <math>\beta</math>, а угол между векторами <math>\vec r</math> и <math>\vec F</math> равен <math>\alpha</math>.
Следовательно, бесконечно малая работа <math>dA</math>, совершаемая силой <math>\vec F</math> на бесконечно малом участке <math>dl</math>, равна скалярному произведению вектора <math>d\vec{l}</math> и вектора силы, то есть <math>dA = \vec F \cdot d\vec{l}</math>.
Теперь попытаемся выразить модуль вектора <math>d\vec{l}</math> через радиус-вектор <math>\vec r</math>, а проекцию вектора силы <math>\vec F</math> на вектор <math>d\vec{l}</math> — через угол <math>\alpha </math>.
Так как для бесконечно малого перемещения рычага <math>dl</math> можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу <math>\vec r</math>, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: <math>dl = r \mathrm{tg}\,d\varphi</math>, где в случае малого угла справедливо <math>\mathrm{tg}\,d\varphi = d\varphi</math> и, следовательно, <math>\left|d\vec{l}\right| = \left|\vec r\right| d\varphi</math>.
Для проекции вектора силы <math>\vec F</math> на вектор <math>d\vec{l}</math> видно, что угол <math>\beta =\frac{\pi}{2} - \alpha</math>, а так как <math>\cos{\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)} = \sin\alpha</math>, получаем, что <math>\left|\vec F\right|\cos\beta = \left|\vec F\right|\sin\alpha</math>.
Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: <math>dA = \left|\vec r\right|d\varphi\left|\vec F\right|\sin\alpha</math>, или <math>dA = \left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin\alpha\, d\varphi</math>.
Видно, что произведение <math>\left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin\alpha</math> есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов <math>\vec r</math> и <math>\vec F</math>, то есть <math>\left|\vec r\times\vec F\right|</math>, которое и было принято обозначить за момент силы <math>M</math>, или модуль вектора момента силы <math>\left|\vec M\right|</math>.
Теперь полная работа записывается просто: <math>A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec r\times\vec F\right| d\varphi</math>, или <math>A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec M\right| d\varphi</math>.
См. также
