Русская Википедия:Моноидальная категория
Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория Шаблон:Math, снабженная бифунктором
который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом Шаблон:Math, который является единицей для Шаблон:Math также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.
Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.
Определение
Формально, моноидальная категория — это категория <math>\mathbf C</math>, снабжённая:
- бифунктором <math>\otimes \colon \mathbf C\times\mathbf C\to\mathbf C</math>, называемым как тензорное произведение или моноидальное произведение,
- объектом <math>I</math>, называемым единицей или тождественным объектом,
- тремя естественными изоморфизмами, выражающими тот факт, что операция тензорного произведения
- ассоциативна: существует естественный изоморфизм (так называемый ассоциатор) <math>\alpha</math>, <math>\alpha_{A,B,C} \colon (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C)</math>,
- <math>I</math> является единицей: существуют два естественных изоморфизма <math>\lambda</math> и <math>\rho</math>, <math>\lambda_A \colon I\otimes A\to A</math> и <math>\rho_A \colon A\otimes I\to A</math>.
На эти естественные изоморфизмы наложены дополнительные условия:
- для всех <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> в <math>\mathbf C</math> следующая пятиугольная диаграмма коммутативна:
Файл:Monoidal-category-pentagon.png
- для всех <math>A</math> и <math>B</math> треугольная диаграмма коммутативна:
Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из <math>\alpha</math>, <math>\lambda</math>, <math>\rho</math>, единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предмет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что <math> ( A_N \otimes A_{N-1} ) \otimes \cdots ) \otimes A_2 ) \otimes A_1) </math> и <math> ( A_N \otimes ( A_{N-1} \otimes \cdots \otimes ( A_2 \otimes A_1) </math> изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для Шаблон:Math=4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.
Строго моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math — тождественные.
Примеры
- Любая категория с конечными произведениями моноидальна, с категорным произведением в качестве моноидального произведения и терминальным объектом в качестве единицы. Такую категорию иногда называют декартово моноидальной категорией. Например:
- <math>\mathbf{Set}</math> — категория множеств с декартовым произведением и одноэлементным множеством в качестве единицы.
- Любая категория с конечными копроизведениями также является моноидальной с копроизведением и начальным объектом в качестве единицы.
- Шаблон:Math, категория модулей над коммутативным кольцом Шаблон:Math — моноидальна с тензорным произведением Шаблон:Math и кольцом Шаблон:Math (понимаемым как модуль над самим собой) в качестве единицы.
- Категория эндофункторов (функторов в себя) в категории Шаблон:Math — строгая моноидальная категория с композицией функторов в качестве операции произведения.
См. также
Примечания
- Kelly, G. Max (1964). «On MacLane’s Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc.» — Journal of Algebra 1, 397—402
- Шаблон:Книга
- Mac Lane, Saunders (1963). «Natural Associativity and Commutativity». — Rice University Studies 49, 28-46.
- Книга:Категории для работающего математика
