Русская Википедия:Мономорфизм
Мономорфи́зм ― морфизм <math>m:A\to B</math> категории <math>\mathcal C</math>, такой что из всякого равенства <math>m\circ f=m\circ h</math> следует, что <math>f=h</math> (другими словами, на <math>m</math> можно сокращать слева). Часто мономорфизм из <math>X</math> в <math>Y</math> обозначают <math>X \hookrightarrow Y</math>.
Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)
Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.
Связь с обратимостью
Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если <math>l</math> — левый обратный к <math>f</math> (то есть <math>l \circ f = \operatorname{id}_{X}</math>), то:
- <math>f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow lfg_1 = lfg_2 \Rightarrow g_1 = g_2</math>.
В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп <math>\mathbf{Grp}</math>, если <math>H</math> является подгруппой <math>G</math>, то вложение <math>f: H \to G</math> — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм <math>f: H \to G</math> существует, только если у <math>H</math> есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм <math>f : X \to Y</math> является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение <math>f_{*} : \mathrm{Hom} ( Z, X ) \to \mathrm{Hom} ( Z, Y )</math>, определённое как <math>f_{*}h = f \circ h</math> для морфизмов <math>h : Z \to X</math>, инъективно для всех Z.
Связь с инъективностью
Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию Шаблон:Iw, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.
Однако это верно не всегда. Например, в категории <math>\mathbf{Div}</math> делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации <math>q : \Q \to \Q/\Z</math>.
Типы мономорфизмов
Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде <math>g \circ e</math> с эпиморфизмом <math>e</math>, то <math>e</math> — изоморфизм.
Терминология
Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и Шаблон:Lang-en — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.
Литература
- Книга:Категории для работающего математика
- George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
