Русская Википедия:Монотонная последовательность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество <math>X</math>, на котором введено отношение порядка.

Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

<math>\{x_n\}</math> — неубывающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1}</math>

Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

<math>\{x_n\}</math> — невозрастающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1}</math>

Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

<math>\{x_n\}</math> — возрастающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n < x_{n+1}</math>

Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

<math>\{x_n\}</math> — убывающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n > x_{n+1}</math>

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров <math>n\in\mathbb N</math>, а лишь для номеров из некоторого диапазона

<math>I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}</math>

(здесь допускается обращение правой границы <math>N_{+}</math> в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке <math>I</math>, а сам диапазон <math>I</math> называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел.
  • <math>\forall n \in \N \colon x_n = n</math>.
  • Начальные отрезки: <math>(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots)</math>.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • <math>x_n = \begin{cases}

   1, & n = 1 \lor n = 2 \\
   x_{n - 1} + x_{n - 2}, & n \geqslant 3

\end{cases} </math>

• • Начальные отрезки: <math>(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots)</math>.
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием <math>1/2</math>.
  • <math>\forall n \in \N \colon x_n = \frac{1}{2^{n-1}}</math>.
  • Начальные отрезки: <math>(1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \cdots)</math>.
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • <math>\forall n \in \N \colon x_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>.
  • Начальные отрезки: <math>(2, 9/4, 64/27, 625/256, \cdots)</math>.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида <math> x_n=\,\!(n-5)^2 </math> не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке <math>\{1,\,\!2, 3, 4\}</math> и (строго) возрастает на промежутке <math>\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}</math>.

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

См. также

• Монотонная функция