Русская Википедия:Монотонная функция
Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция <math>f</math>, приращение которой <math>\Delta f = f(x')-f(x)</math> при <math>\Delta x = (x'- x) > 0</math> не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение <math>\Delta f</math> не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.
Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.
Определения
Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R.</math> Тогда
- функция <math>f</math> называется возраста́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)</math>.
- функция <math>f</math> называется стро́го возраста́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y) </math>.
- функция <math>f</math> называется убыва́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)</math>.
- функция <math>f</math> называется стро́го убыва́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)</math>.
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Другая терминология
Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)[2]:
- Функция <math>f(x)</math> называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)<f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
- Функция <math>f(x)</math> называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)>f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
- Функция <math>f(x)</math> называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \le f(x_2)</math>.
- Функция <math>f(x)</math> называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \ge f(x_2)</math>.
- Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.
Свойства монотонных функций
- Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
- Монотонная функция, <math>f:[a,b] \to \R,</math> определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
- Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
- Монотонная функция <math>f:(a,b) \to \R</math> дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.
Условия монотонности функции
- (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> производную <math>f'(x).</math> Тогда
- <math>f</math> не убывает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;</math>
- <math>f</math> не возрастает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.</math>
- (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> производную <math>f'(x).</math> Тогда
- если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,</math> то <math>f</math> строго возрастает на <math>(a,b);</math>
- если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,</math> то <math>f</math> строго убывает на <math>(a,b).</math>
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале <math>(a,b).</math> Точнее имеет место
- (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть <math>f\in C\bigl( (a,b) \bigr),</math> и всюду на интервале определена производная <math>f'(x).</math> Тогда <math>f</math> строго возрастает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;</math>
- <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.</math>
Аналогично, <math>f</math> строго убывает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;</math>
- <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.</math>
Примеры
- Функция <math>f(x)=x^3</math> строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка <math>x=0</math> является стационарной, т.е. в этой точке <math>f'(x)=0</math>.
- Функция <math>f(x)= \sin x</math> является строго возрастающей не только на открытом интервале <math>(- \pi /2; \pi /2)</math>, но и на замкнутом интервале <math>[- \pi /2; \pi /2]</math>.
- Экспонента <math>f(x) = e^x</math> строго возрастает на всей числовой прямой.
- Константа <math>f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}</math> одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
- Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
- Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.
Вариации и обобщения
- Отображение <math>f\colon X\to Y</math> между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка <math>y\in Y</math> имеет связный прообраз <math>f^{-1}(y)</math>.[3]
Примечания
См. также
- ↑ Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Collins, P. J. (1971). Concordant mappings and the concordant-dissonant factorization of an arbitrary continuous function. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.
