Русская Википедия:Мост Вина
Мост Ви́на (иногда в литературе — мост Вина — Робинсо́наШаблон:Sfn) — пассивный четырёхполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Одна пара плеч моста — последовательно и параллельно соединённые RC-цепи, составляющие совместно квазирезонансную частотно-избирательную цепь, другая пара плеч представляет резистивный делитель напряжения. Модуль передаточной функции сигнала диагонали моста имеет минимум при некотором соотношении величин двухполюсников входящих в схему и является характеристикой заграждающего фильтра.
Предложен Максом Вином в 1891 году.
Применяется в некоторых RC-генераторах для построения автогенераторов синусоидального сигнала с малыми искажениями и удовлетворительной стабильностью частоты и достаточно широким диапазоном перестройки по частоте. Иногда применяется в качестве полосно-заграждающего фильтра.
Мост может быть использован для измерения ёмкости конденсаторов, измерения паразитных параметров конденсаторов, например эквивалентного паразитного последовательного сопротивления (ЭПС), в измерителях нелинейных искажений и др.
Теория
В общем случае мост состоит из четырёх различных по величине сопротивления и ёмкости резисторов и двух конденсаторов. Частотно-зависимой цепью моста является делитель напряжения, состоящий из конденсаторов <math>C_1,\ C_2</math> и резисторов <math>R_1,\ R_2</math>. Передаточная функция <math>H_{dRC}(j\omega)</math> частотно-зависимого делителя напряжения выражается как:
- <math>H_{dRC}(j\omega) = \over {{R_1}||{Z_{C_1}} + {Z_{C_2}} + {R_2}}} = </math>
- <math> = {{{R_1}||{(1/j\omega C_1)}} \over {{R_1}||{(1/j\omega C_1)} + {(1/j\omega C_2)} + {R_2}}},</math>
- где <math>Z_{C_1},\ Z_{C_1}</math> — реактивные сопротивления конденсаторов <math>C_1,\ C_1;</math>
- <math>j</math> — мнимая единица.
Символом <math>||</math> обозначено параллельное соединение элементов, например:
- <math> = {{{R_1 \cdot Z_{C_1}}} \over {R_1 + Z_{C_1}}}}.</math>
Передаточная функция напряжения, снимаемого с диагонали моста <math>U_O = U_{O2} - U_{O1}</math> равно разности передаточных функций резистивного делителя <math>R_3,\ R_4</math> и частотно-зависимого делителя напряжения:
- <math>H_{U_O}(j\omega) = \frac {R_3}{R_3 + R_4} - {{{R_1}||{(1/j\omega C_1)}} \over {{R_1}||{(1/j\omega C_1)} + {(1/j\omega C_2)} + {R_2}}}.</math>
Явное выражение для этой функции через сопротивления резисторов и ёмкости конденсаторов громоздко. Можно показать, что частота колебаний <math>\omega_{0 U_O}</math>, при которой будет наблюдаться минимум модуля комплексной амплитуды напряжения <math>U_O</math> диагонали моста будет:
- <math>\omega_{0 U_O} = {1 \over \sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}.</math>
Если при этом дополнительно выполняются соотношение между ёмкостями конденсаторов и сопротивлениями резисторов в виде:
- <math> {C_1 \over C_2} = {R_4 \over R_3} - {R_2 \over R_1},</math>
то модуль комплексной амплитуды напряжения диагонали моста обращается в нуль.
Обычно в фильтрах, генераторах синусоидальных колебаний применяют мост Вина в котором <math>R_1 = R_2 = R</math> и <math>C_1 = C_2 = C.</math> При таком выборе математические выражения существенно упрощаются.
Передаточная функция частотно-зависимого делителя напряжения:
- <math>H_{RC}(j\omega) = {{j\omega T} \over { - {\omega ^2}{T^2} + 3j\omega T + 1}} = {{j\Omega } \over { - {\Omega ^2} + 3j\Omega + 1}}.</math>
Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения (см. рисунок 2):
- <math>|H_{RC}(j\omega)| = \omega T\sqrt {{1 \over {{\omega ^4}{T^4} + 7{\omega ^2}{T^2} + 1}}}= \Omega \sqrt {{1 \over {{\Omega^4} + 7{\Omega^2} + 1}}}.</math>
Здесь обозначено <math>\Omega = \omega RC = \omega T = \omega /{\omega _0},\ </math> <math>\Omega</math> — нормированная безразмерная частота, <math>T = RC</math> — постоянная времени RC-цепи, <math>\omega _0 = 1/RC</math> — частота максимума модуля передаточной функции.
При входной частоте <math>\omega = \omega _0,\ </math> то есть, при <math>\Omega = 1\ </math>модуль коэффициента передачи частотно-зависимого делителя имеет максимум и равен 1/3 и фазовый сдвиг относительно входного напряжения становится равным нулю.
Если выбрать коэффициент передачи <math>K_R = R_3/(R_3 + R_4)</math> резистивного делителя <math>R_3,\ R_4</math> равным 1/3, то есть <math>R_4 = 2R_3,</math> то при <math>\omega = \omega _0</math> напряжение диагонали моста станет нулевым.
Передаточная функция напряжения диагонали моста с таким соотношением номиналов компонентов:
- <math>H(j\omega ) = {1 \over 3} \cdot {{1 - {\Omega ^2}} \over { - {\Omega ^2} + 3j\Omega + 1}},</math>
и модуль этой передаточной функции:
- <math>|H(j\omega )| = {1 \over 3} \cdot {{|1 - {\Omega ^2}|} \over {\sqrt {{{(1 - {\Omega ^2})}^2} + 9{\Omega ^2}} }}.</math>
Фазовый сдвиг <math>\varphi</math> между входным и выходным напряжениями:
- <math>\varphi = \operatorname{arctg}\left( {{{ - 3\Omega } \over {1 - {\Omega ^2}}}} \right),\ \Omega \ne 1.</math>
Графики модуля и фазового сдвига напряжения диагонали моста в полулогарифмических координатах приведены на рисунке 3.
Применение
Мост Вина может использоваться для измерений параметров конденсаторов. При этом в одно из плечей моста включают исследуемый конденсатор, варьируя входящие в мост сопротивления переменных резисторов и ёмкости переменных конденсаторов, а также частоту синусоидального напряжения питания моста, добиваются его балансировки, то есть равенства нулю напряжения диагонали моста.
Неизвестные параметры исследуемого конденсатора можно при этом получить из решения системы уравнений при известных <math>\omega_{bal}</math> — частоты, при которой мост сбалансирован, и величин <math>R_2,\ C_2,\ R_3,\ R_4</math>:
- <math>\omega_{bal} = {1 \over \sqrt{R_x R_2 C_x C_2}},</math>
- <math> {C_x \over C_2} = {R_4 \over R_3} - {R_2 \over R_x}.</math>
Решение этой системы уравнений:
- <math>C_x = {{C_2R_4} \over {R_3(R_2^2C_2^2\omega_{bal}^2+1)}},</math>
- <math>R_x = {{R_3}{(R_2^2C_2^2\omega_{bal}^2+1)} \over {R_2C_2^2R_4\omega_{bal}^2}}.</math>
Соответственно, аналогично можно определить эквивалентное последовательное сопротивление конденсатора, слегка видоизменив схему включения — выполнить регулируемыми <math>R_x,\ C_x</math> и вместо <math>C_2,\ R_2</math> включить исследуемый конденсатор.
Традиционно мост Вина применяется в генераторах синусоидального сигнала с очень малым коэффициентом гармоник выходного сигнала, где он включен во положительную обратную связь усилителя с автоматически точно поддерживаемым коэффициентом передачи равным 1/3.
Также мост Вина применяется в измерителях нелинейных искажений в качестве фильтра-подавителя первой основной гармоники исследуемого сигнала.
См. также
Примечания
Литература
