Русская Википедия:Мультииндекс
Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Математическая запись мультииндекса
n-мерный мультииндекс — это вектор
- <math>\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n),</math>
составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов <math>\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0</math> и вектора <math>x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> вводятся:
- Покомпонентное сложение и вычитание
- <math>\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)</math>
- <math>\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}</math>
- Абсолютное значение как сумма компонентов
- <math>| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>
- <math>\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!</math>
- <math>{\alpha \choose \beta} ={\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n}</math>
- <math>x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}</math>
- Старшая частная производная
- <math>\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}</math> где <math>\partial_i^{\alpha_i}:=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}</math>
Некоторые приложения
Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:
Мультиномиальные коэффициенты
Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:
- <math> \biggl( \sum_{i=1}^n x_i\biggr)^k = \sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha</math>
Формула Лейбница
Для гладких функций f и g
- <math>\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.</math>
Разложение в ряд Тейлора
Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение
- <math>f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.</math>
Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора
- <math>f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_n(x,h),</math>
где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим
- <math>R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt.</math>
Оператор дифференцирования
Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:
- <math>P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.</math>
Интегрирование по частям
Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> имеем:
- <math>\int_{\Omega}{}{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.</math>
Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.
Пример использования в теореме
Если <math>\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0</math> — это мультииндексы и <math>x=(x_1,\ldots, x_n)</math>, то
- <math> \partial^\alpha x^\beta =
\begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta,\\
0 & \hbox{otherwise.} \end{cases}</math>
Доказательство
Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:
- <math> \frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta, \\ 0 & \hbox{otherwise.} \end{cases}\qquad(1)</math>
Положим <math>\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)</math>, <math>\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> и <math>x=(x_1,\ldots, x_n)</math>. Тогда
- <math>\begin{align}\partial^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\
&= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}</math>
Здесь каждое дифференцирование <math>\partial/\partial x_i</math> сводится к соответствующей обыкновенной производной <math>d/dx_i</math>, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция <math>x_i^{\beta_i}</math> зависит только от <math>x_i</math>. Поэтому из уравнения (1) следует, что <math>\partial^\alpha x^\beta</math> исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем
- <math> \frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}</math>
для каждого <math>i</math>.<math>\Box</math>
Ссылки
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.
