Русская Википедия:Мультипликативная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция <math>f(m)</math>, такая, что для любых взаимно простых чисел <math>m_1</math> и <math>m_2</math> выполнено:

<math>f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)</math>

и

<math>f(1)=1</math>.

При выполнении первого условия, требование <math>f(1)=1</math> равносильно тому, что функция <math>f(m)</math> не равна тождественно нулю.

Функции <math>f(m)</math>, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных <math>m_1, m_2</math>, называются вполне мультипликативными. Функция <math>f</math> вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных <math>x,y</math> выполняется соотношение <math>f(xy)=f(x)f(y)</math>.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:

<math>f(p^\alpha) = f(p)</math>

для всех простых <math>p</math> и всех натуральных <math>\alpha</math>.

Примеры:

• функция <math>\tau(m)</math> ― число натуральных делителей натурального <math>m</math>;
• функция <math>\sigma(m)</math> ― сумма натуральных делителей натурального <math>m</math>;
• функция Эйлера <math>\varphi(m)</math>;
• функция Мёбиуса <math>\mu(m)</math>.
• функция <math>\frac{\varphi(m)}{m}</math> является сильно мультипликативной.
• степенная функция <math>f(m)=m^\alpha</math> является вполне мультипликативной.

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции <math>f(n)</math> на простых числах и их степенях, а также определить <math>f(1) = 1;</math> все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если <math>f(m)</math> — мультипликативная функция, то функция

<math>g(m) = \sum_{d|m} f(d)</math>

также будет мультипликативной. Обратно, если функция <math>g(m)</math>, определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция <math>f(m)</math> также мультипликативна.

Более того, если <math>f(m)</math> и <math>g(m)</math> — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:

<math>h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга