Русская Википедия:Надбарьерное отражение
Надбарье́рное отраже́ние — термин, употребляемый в квантовой механике для описания невозможного в классической физике явления отражения движущейся частицы от потенциального барьера, максимальная высота которого <math>U_{max}</math> меньше полной энергии частицы <math>E</math>. Коэффициент отражения определяется формой барьера (в одномерном случае <math>U(x)</math>), а также энергией и массой частицы. При этом коэффициент прохождения оказывается меньше единицы. Аналогичный эффект имеет место при прохождении частицы над потенциальной ступенькой или квантовой ямой.
Подход к рассмотрению
Независимо от профиля потенциала <math>U(x)</math> движение частицы рассматривается с использованием стационарного уравнения Шрёдингера. Принимается, что частица движется слева направо (вдоль оси <math>x</math>), потенциал на большом расстоянии слева от барьера равен нулю, а справа <math>V_0</math> (возможно, <math>V_0</math> тоже равно нулю). В таком случае волновые функции слева и справа от барьера представляют собой плоские волны вида:
- <math>\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,\,</math> (далеко слева),
- <math>\psi_2(x)=te^{ik_2x}\,\,</math> (далеко справа).
- <math>k_1=\sqrt{\frac{2m_1E}{\hbar^2}}</math> и <math>k_2=\sqrt{\frac{2m_2(E-V_0)}{\hbar^2}}</math> — модули волновых векторов.
Масса <math>m</math>, вообще говоря, может различаться по областям, почему её символ и снабжён дополнительным индексом; <math>\hbar</math> — постоянная Планка.
Если профиль <math>U(x)</math> содержит резкие скачки, то на всех границах должно выполняться условие «сшивки» волновой функции <math>\psi</math> и токов вероятности; последнее требует обеспечения непрерывности величины <math>\psi^'/m</math>.
В процессе решения уравнения Шрёдингера определяются неизвестные константы <math>r</math> и <math>t</math>, с использованием которых далее находятся коэффициенты отражения и прохождения:
- <math>R=|r|^2,\qquad T=\frac{k_2m_1}{m_2k_1}|t|^2</math>.
Ниже представлены результаты такого рассмотрения для нескольких систем.
Примеры
Скачок потенциальной энергии
Задача о переходе частицы, без изменения её массы, в область с другой потенциальной энергией <math>V_0 = V</math>, имеет следующее решение:
- <math>r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},\qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math>.
Коэффициенты отражения и прохождения составляют
- <math>R=\left(\frac{1-\sqrt{1-V/E}}{1+\sqrt{1-V/E}}\right)^2,\quad T=\frac{4\sqrt{1-V/E}}{\left(1+\sqrt{1-V/E}\right)^2}</math>.
Коэффициент отражения имеет конечное значение, но при стремлении <math>E</math> к бесконечности он стремится к нулю.
Прямоугольный потенциальный барьер
В случае прямоугольного барьера потенциал по обе его стороны нулевой (и <math>V_0 = 0</math>). Условия сшивки действуют на двух границах: при <math>x=0</math> и <math> x=a</math>. Волновые векторы слева-справа и в барьере составляют
- <math>k_1 = k_2 =\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},\qquad k_b = \sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}</math>.
Результат для коэффициентов отражения и прохождения:
- <math>R = 1 - T,\qquad T=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2-k_b^2)^2}{4k_1^2k_b^2}\sin^2{k_ba}}</math>.
При <math>E > V</math> коэффициент отражения в общем случае отличен от нуля. Но при определённых энергиях <math>E</math> становится <math>R = 0</math> из-за обнуления синуса.
Изменение эффективной массы
В данном случае коэффициенты <math>r</math> и <math>t</math> рассчитываются по формулам:
- <math>r=\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}},\qquad t=\frac{2\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}</math>.
Соответственно, коэффициенты отражения и прохождения составят
- <math>R=\left(\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}\right)^2,\qquad T=\frac{4\sqrt{m_1m_2}}{\left(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}\right)^2}</math>.
При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.
Бесконечная квантовая яма
Дельтообразная квантовая яма — это потенциал вида <math>U(x) = \lambda/m\cdot\delta(x)</math>, где <math>\lambda = \mbox{const} <0</math>.
Примечание: при наличии <math>\delta</math>-функциональных особенностей потенциала несколько изменяются условия сшивки производных, вытекающие из требования непрерывности тока, см. конкретнее.
Коэффициенты отражения и прохождения для такой ямы составляют
- <math>R=|r|^2= \frac{1}{1+\frac{2m\hbar^2 E}{\lambda^2}},\qquad T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2 E}}</math>.
Получается, что отражение частицы возможно при её надъямном движении с любой энергией <math>E</math>, хотя при повышении энергии вероятность отражения снижается.
Практическая релевантность
Все типы структур, представленные выше, встречаются или могут быть созданы на практике. В технологии полупроводниковых гетероструктур есть возможность получения многослойных систем с различными материалами. Поскольку возможности варьирования комбинаций материалов достаточно широки, вполне реально получение желаемых высот барьеров (от долей эВ до нескольких эВ) и величин эффективной массы. Соответственно, роль профиля потенциала <math>U(x)</math> будет играть профиль зоны проводимости <math>E_c(x)</math>.
Литература
