Русская Википедия:Надстройка (топология)
Шаблон:Другие значения В топологии, надстройкой над топологическим пространством <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> называется топологическое пространство <math>SX</math>, являющееся фактор-пространством пространства <math>X\times [0,1]</math> полученное стягиванием подмножества <math>X \times 0</math> в одну точку, а <math>X \times 1</math> - в другую.
Приведённой надстройкой над топологическим пространством <math>X</math> с отмеченной точкой <math>x_0</math> называется топологическое пространство <math>SX</math>, являющееся фактор-пространством пространства <math>X\times [0,1]</math> полученное стягиванием подмножества <math>(X \times 0) \cup (x_0 \times [0,1]) \cup (X \times 1)</math> в одну точку.
Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.
Если <math>(x,t) \in X \times [0,1]</math>, то через <math>[x,t]</math> обозначается соответствующая точка пространства <math>SX</math> при проекции <math>X \times [0,1] \rightarrow SX</math>. Если <math>SX</math> - приведённая надстройка, то <math>[x, 0]=[x_0, t]=[x',1]</math> для всех <math>x,x' \in X, \text{ }t \in [0,1]</math>. Точка <math>[x_0, 0] \in SX</math> обозначается через <math>x_0</math> и <math>SX</math> рассматривается как пространство с отмеченной точкой <math>x_0</math>.
Если задано отображение <math>f: X \rightarrow X'</math>, то формулой <math>Sf[x,t] = [f(x), t]</math> определено отображение <math>Sf: SX \rightarrow SX'</math>. При этом <math>S</math> - ковариантный функтор из категории пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений в категорию Н-когрупп и непрерывных гомоморфизмов. Пространство <math>SX</math> является Н-когруппой с коумножением <math>\nu: SX \rightarrow SX \vee SX</math>, определённым формулой
<math>\nu([x,t]) = \begin{cases} ([x, 2t], x_0), & 0 \leq t \leq 1/2 \\ (x_0, [x_0, 2t-1]),& 1/2 \leq t \leq 1 \end{cases}</math>.
Свойства
- Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну <math>X\star S^0</math> пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») <math>S^0</math>.
- При <math>n \geq 0</math> пространство <math>S(S^n)</math> гомеоморфно <math>S^{n+1}</math>.
- Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: <math>\overline{H}_k(SX)=\overline{H}_{k-1}(X)</math> для всех k.
См. также
Ссылки
- Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян
- Спеньер Э. - Алгебраическая топология (1971)
