Русская Википедия:Наибольшая чередующаяся подпоследовательность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В комбинаторике, теории вероятности и информатике задача о наибольшей чередующейся подпоследовательности состоит в том, чтобы найти подпоследовательность наибольшей длины заданной последовательности, такую, что её элементы расположены чередующимся образом.

Пусть <math>\mathbf{x} = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}</math> — последовательность различных действительных чисел, тогда подпоследовательность <math>\{x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{i_k}\}</math> чередующаяся, если

<math>x_{i_1} > x_{i_2} < x_{i_3} > \ldots x_{i_k}\qquad \land \qquad 1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n.</math>

Аналогично, <math>\mathbf{x}</math> обратная чередующаяся, если

<math>x_{i_1} < x_{i_2} > x_{i_3} < \ldots x_{i_k}\qquad \land \qquad 1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n.</math>

Пусть <math>{\rm as}_n(\mathbf{x})</math> обозначает длину(число элементов) наибольшей чередующейся подпоследовательности последовательности <math>\mathbf{x}</math>. Например, если рассмотреть некоторую перестановку чисел 1,2,3,4,5, получится

• <math>{\rm as}_5(1,2,3,4,5) = 2 </math>;
• <math>{\rm as}_5(1,5,3,2,4) = 4, </math> потому что 1,5,3,4 и 1,5,2,4 и 1,3,2,4 чередующиеся, и нет чередующейся подпоследовательности из большего числа элементов;
• <math>{\rm as}_5(5,3,4,1,2) = 5, </math> потому что 5,3,4,1,2 чередующаяся.

Эффективный алгоритм

Задача о наибольшей чередующейся подпоследовательности решается за время <math>O(n)</math>, где <math>n</math> — длина исходной последовательности.

Также за время <math>O(n)</math> можно решить задачу о наибольшей чередующейся подпоследовательности с лексикографически минимальным множеством индексов, хоть это и заметно более сложная задача.

Вероятностные оценки

Если <math>\mathbf{x}</math> — случайная перестановка чисел <math>1,2,\ldots,n</math> и <math>A_n \equiv {\rm as}_n(\mathbf{x})</math>, тогда можно показать, что

<math> E[A_n] = \frac{2 n}{3} + \frac{1}{6} \qquad \text{and} \qquad \operatorname{Var}[A_n] = \frac{8 n}{45} - \frac{13}{180}. </math>

Более того, при <math>n \rightarrow \infty</math> случайная величина <math>A_n</math> центрированная, нормированная, её распределение стремится к нормальному.

См. также

• Наибольшая увеличивающаяся подпоследовательность
• Наибольшая общая подпоследовательность
• Чередующаяся перестановка