Русская Википедия:Натуральный логарифм

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Logarithm inversefunctiontoexpB.svg
Функция натурального логарифма (синяя кривая) обратна к экспоненте (красная кривая)
Файл:Log.svg
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где <math>e</math> — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как <math>\ln x</math>, <math>\log_ex</math> или иногда просто <math>\log x</math>, если основание <math>e</math> подразумевается[1]. Обычно число <math>x</math> под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты <math>y=e^x</math>, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе.

В приложениях натуральный логарифм участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент обратно пропорциональна самому количеству. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества: чем больше атомов распадается, тем меньше их становится и тем медленнее идет дальнейший процесс. Натуральные логарифмы играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, (например, нахождение сложных процентов).

Определение

Натуральный логарифм числа <math>a</math> — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить <math>a</math>. Другими словами, натуральный логарифм <math>\ln a</math> есть решение <math>x</math> уравнения <math>e^x = a.</math>

Примеры:

<math>\ln e=1</math>, потому что <math>e^1=e</math>;
<math>\ln 1=0</math>, потому что <math>e^0=1</math>.

Вещественный натуральный логарифм

Файл:Log-pole-x 1.svg
<math>\ln a</math> определяется как площадь под кривой <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> от <math>1</math> до <math>a</math>.

Натуральный логарифм <math>\ln a</math> для вещественного числа <math>a</math> определён и однозначен для любого положительного числа <math>a.</math>

Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой <math>y=\frac{1}{x}</math> на промежутке <math>[1;a]</math>. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Свойства

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[2]:

<math>e^{\ln a} = a</math>

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительныШаблон:Sfn:

Формула Пример
Произведение <math> \ln(x y) = \ln x + \ln y</math> <math> \ln (4\cdot 3) = \ln 4+ \ln 3</math>
Частное <math>\ln \left(\frac x y \right) = \ln x - \ln y</math> <math> \ln \left(\frac{1}{e^2}\right) = \ln (1) - \ln (e^2) = 0 - 2 = -2</math>
Степень <math>\ln(x^p) = p \ln x</math> <math> \ln (64) = \ln (2^6) = 6 \ln 2</math>
Корень <math>\ln \sqrt[p]{x} = \frac {\ln x} p</math> <math> \ln \sqrt{10} = \frac{1}{2}\ln 10 </math>

Другие свойства:

  • Из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений.
  • С возрастанием аргумента возрастает и логарифм: если <math>0<x<y,</math> то <math>\ln x < \ln y.</math>
  • <math>\frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h,</math> если <math>h > -1.</math>

Связь с логарифмами по другому основанию

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от <math>1</math>, а не только для <math>e</math>, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем.

Логарифм <math>\log_a b</math> по основанию <math>a</math> можно преобразоватьШаблон:Sfn в натуральный логарифм и обратно:

<math>\ln b = \frac{\log_a b }{\log_a e} = \log_a b \cdot \ln a</math>
<math>\log_a b = \frac{\ln b }{\ln a}</math>

Связь десятичного (<math>\lg x</math>) и натурального логарифмовШаблон:Sfn:

<math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x</math>

Связь двоичного (<math>\operatorname{lb} x</math>) и натурального логарифмов:

<math>\ln x \approx 0,693147 \operatorname{lb} x; \quad \operatorname{lb} x \approx 1{,}442695 \ln x</math>

Логарифмическая функция

Файл:Log.png
Графики логарифмических функций; красная кривая — натуральный логарифм

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию <math>y=\ln x</math>. Она определена при <math>x>0</math>. Область значений: <math>E(y)=(-\infty; + \infty)</math>. Эта кривая часто называется логарифмикой[3]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси <math>y</math>; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Функция является строго возрастающей, она непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат (<math>x=0</math>) является вертикальной асимптотой, поскольку:

<math>\lim_{x \to 0+} \ln x = - \infty</math>

Производная натуральной логарифмической функции равна:

<math>\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}</math>

Простота этой формулы — одна из причин широкого использования именно натурального логарифма в анализе и при решении дифференциальных уравнений.

Файл:Log-pole-x.svg
Натуральный логарифм равен площади под гиперболой

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от <math>x=1</math> до <math>x=b</math>, мы получаем:

<math>\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}</math>

Другими словами, натуральный логарифм <math>\ln{b}</math> равен площади под гиперболой <math> y=\frac {1}{x}</math> для указанного интервала <math>[1,b]</math>.

С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравненияШаблон:Sfn:

<math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>

Аналитические свойства функции

Из формулы для производной натурального логарифма следует, что первообразная для гиперболы <math>y=1/x</math> имеет вид:

<math>\int { dx \over x} = \ln|x| + C,</math>

где <math>C</math> — произвольная константа интегрирования. Поскольку функция <math>y=1/x</math> состоит из двух ветвей (одна для положительных, другая для отрицательных <math>x</math>), семейство первообразных для <math>y=1/x</math> тоже состоит из двух подсемейств, причём константы интегрирования у них независимы одна от другой.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

<math>\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C </math>

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции <math>f(x)</math>:

<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}</math>

Методы вычисления логарифма

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы: Шаблон:EF Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при <math>-1 < x \leqslant 1</math>. В частности: Шаблон:EF Формула Шаблон:Eqref непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу: Шаблон:EF Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа <math>z =\frac{1 + x}{1 - x}</math>, ибо тогда <math>x = \frac{z - 1}{z + 1}</math> по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости.

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[4][5]:

<math>\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2</math>

где <math>M</math> обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

<math>s = x \,2^m > 2^{p/2},</math>

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Полезные пределы

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмамиШаблон:Sfn:

<math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)} {x} = 1</math>
<math>\lim_{x \to 0+} x^b \ln x = 0 \quad (b > 0) </math>
<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^b} = 0 \quad (b > 0) </math>
<math>\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right)
             = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)</math>
<math>\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h</math>

Трансцендентность

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса (1885) вытекает следующее следствие: если аргумент <math>x</math> есть алгебраическое число, отличное от единицы, то значение <math>\ln x</math> есть не только иррациональное, но и трансцендентное число[6].

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют классические непрерывные дроби, но можно использовать несколько «обобщённых непрерывных дробей», в том числе:

<math>

\ln(1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots= \cfrac{x}{1-0\cdot x+\cfrac{1^2x}{2-1\cdot x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} </math>

<math>

\ln \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}} </math>

История

Шаблон:Main Впервые натуральные логарифмы в современном понимании появились в 1619 году, когда лондонский учитель математики Джон Спейдель переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов[7]. В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой <math>y=\frac {1}{x}</math> меняется по логарифмическому закону, и предложил называть этот вид логарифмов «гиперболическим»[8].

Термин «натуральный логарифм» ввели в употребление Пьетро Менголи (1659 год) и Николас Меркатор в фундаментальном труде «Logarithmotechnia» (1668)[9][10]. Там же Меркатор описал разложение натурального логарифма в «ряд Меркатора».

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифмаШаблон:Sfn. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить <math>\log(-x) = \log(x)</math>, в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число[11]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной[12].

Комплексные логарифмы

Шаблон:Main Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Определение. Натуральный логарифм <math>\mathrm{Ln}\,z</math> комплексного числа <math>z</math> представляет собой[3] решение <math>w</math> уравнения <math>e^w=z.</math>

Ненулевое число <math>z</math> можно представить в показательной форме:

<math>z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;,</math> где <math>k</math> — произвольное целое число

Тогда <math>\mathrm{Ln}\,z</math> находится по формуле[13]:

<math>\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)</math>

Здесь <math>\ln\,r= \ln\,|z|</math> — вещественный логарифм. Отсюда вытекает: Шаблон:Рамка Комплексный логарифм <math>\mathrm{Ln}\, z</math> существует для любого <math>z \ne 0</math>, и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное <math>2\pi.</math> |} Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале <math>(-\pi, \pi]</math>. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма[3]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается <math>\ln\,z</math>. Если <math>z</math> — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Логарифм отрицательного числа находится по формулеШаблон:Sfn:

<math>\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) </math>

Примеры:

<math>\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i</math>
<math>\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi</math>
<math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi</math>

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

<math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math> — явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (<math>k=-1</math>). Причина ошибки — неосторожное использование свойства <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math>, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Функция натурального логарифма комплексного числа может быть также определена как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость, кроме нуля. Пусть кривая <math>\Gamma</math> начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке <math>w</math> кривой <math>\Gamma</math> можно определить по формулеШаблон:Sfn:

<math>\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}</math>

Некоторые применения

Теория чисел

Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам[14]:

  1. Число простых чисел в интервале от 1 до <math>n</math> приблизительно равно <math>\frac{n}{\ln n}</math>.
  2. k-е простое число приблизительно равно <math>k \ln k</math>.

Математический анализ

Шаблон:Also Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

<math>\int {\operatorname{tg} x} \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln \ \left|\ x+\sqrt{x^2+a}\ \right| + C</math>

Теория вероятностей и статистика

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение[15] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных[16].

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия[17].

Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.

Фракталы и размерность

Файл:Sierpinski dimension.svg
Треугольник Серпинского (справа)

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала[18]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

<math>\frac {\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58</math>

Механика и физика

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Химия и физическая химия

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).

Психология и физиология

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула[19] — громкости звука[20], яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется[21].

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по Шаблон:Iw[22].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Внешние ссылки

  1. ↑ Шаблон:Книга, Extract of page 9 Шаблон:Wayback
  2. ↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Шаблон:Книга
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Книга
  7. ↑ Шаблон:Книга
  8. ↑ Шаблон:Cite web
  9. ↑ Шаблон:Книга
  10. ↑ Шаблон:Cite web
  11. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IM3-325 не указан текст
  12. ↑ Шаблон:Книга
  13. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок KORN623 не указан текст
  14. ↑ Шаблон:Книга
  15. ↑ Шаблон:Cite web
  16. ↑ Шаблон:Книга
  17. ↑ Шаблон:Книга
  18. ↑ Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.
  19. ↑ Шаблон:Cite web
  20. ↑ Шаблон:Статья
  21. ↑ Шаблон:Cite web
  22. ↑ Шаблон:Книга

Шаблон:Выбор языка

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Натуральный_логарифм&oldid=10446420