Русская Википедия:Натуральный логарифм 2
Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (Шаблон:OEIS) равен приблизительно
- <math>\ln 2 \approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326\,996\,418\,687</math>
как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (Шаблон:Math) можно вычислить из соотношения
- <math>\log_b 2 = \frac{\ln 2 }{\ln b }.</math>
Десятичный логарифм числа 2 (Шаблон:OEIS2C) приблизительно равен
- <math>\log_{10} 2 \approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026\,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\,927\,252\,118\,186\,172\,040\,684</math>
Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:
- <math> \log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2 } \approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593\,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015</math> (Шаблон:OEIS2C).
Число | Приближённое значение натурального логарифма | OEIS |
---|---|---|
2 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
3 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
4 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
5 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
6 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
7 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
8 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
9 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
10 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.
Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.
Представление в виде рядов
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} =\ln 2.</math> (Ряд Меркатора)
- <math> \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.</math>
- <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} = 2\ln 2 -1.</math>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.</math>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.</math>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\tfrac{3}{2}.</math>
- <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\tfrac{1}{2}.</math>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2 }{2}.</math>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta(2n) = \frac{1-\ln 2 }{2}.</math>
- <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n} = \operatorname{Li}_1\left ( \frac{1}{2} \right ).</math> (Полилогарифм)
- <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}\right)\frac{1}{n}.</math>
- <math>\ln 2 = \frac{2}{3} + \frac12 \sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right)\frac{1}{16^k}.</math>
- <math>\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k\ge 0} \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.</math>
- <math>\ln 2 = \sum_{k\ge 0} \left( \frac{14}{31^{2k+1}(2k+1) } + \frac{6}{161^{2k+1}(2k+1) } + \frac{10}{49^{2k+1}(2k+1) } \right) .</math>
- <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} .</math>
- <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} .</math>
(здесь через Шаблон:Math обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, Шаблон:Math — дзета-функция Римана).
Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:
- <math>\begin{align}
\ln 2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} + \cdots \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k \cdot k} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{1}{2^k} \left( \frac{1}{k + 1} \right) \right] \\ &= \frac{1}{2} P\big( 1, 2, 1, (1) \big).
\end{align}</math>
Представление в виде интегралов
- <math>\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2,\text{ или, равносильно, }\int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2 .</math>
- <math>\int_1^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{1-\ln 2 }{4}.</math>
- <math>\int_0^\infty \frac{dx}{1+e^{nx}} = \frac{\ln 2 }{n};
\int_0^\infty \frac{dx}{3+e^{nx}} = \frac{2\ln 2 }{3n}.</math>
- <math>\int_0^\infty \frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}\,dx=\ln 2 .</math>
- <math>\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2 .</math>
- <math>\int_0^1 \ln\left(\frac{x^2-1}{x\ln x }\right)dx=-1+\ln 2 +\gamma.</math>
- <math>\int_0^\frac{\pi}{3} \operatorname{tg} x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \operatorname{tg} x \, dx=\ln 2 .</math>
- <math>\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4} \ln\left(\sin x +\cos x \right)\,dx=-\frac{\pi \ln 2 }{4}.</math>
- <math>\int_0^1 x^2\ln(1+x)\,dx=\frac{2\ln 2 }{3}-\frac{5}{18}.</math>
- <math>\int_0^1 x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{1}{4}-\ln 2 .</math>
- <math>\int_0^1 x^3\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{13}{96}-\frac{2\ln 2 }{3}.</math>
- <math>\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2}\,dx = -\ln 2 .</math>
- <math>\int_0^1 \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\,dx=1-2\ln 2 .</math>
- <math>\int_0^1 \frac{dx}{x(1-\ln x )(1-2\ln x )} = \ln 2 .</math>
- <math>\int_1^\infty \frac{\ln\left(\ln x \right)}{x^3}\,dx = -\frac{\gamma+\ln 2 }{2}.</math>
Другие формы представления числа
Разложение Пирса имеет вид (Шаблон:OEIS2C)
- <math> \ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. </math>
Разложение Энгеля (Шаблон:OEIS2C):
- <math> \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. </math>
Разложение в виде котангенсов имеет вид Шаблон:OEIS2C
- <math> \ln 2 = \operatorname{ctg}({\operatorname{arcctg}0 -\operatorname{arcctg}1 + \operatorname{arcctg}5 - \operatorname{arcctg}55 + \operatorname{arcctg}14187 -\cdots}). </math>
Представление в виде бесконечной суммы дробей[1] (знакопеременный гармонический ряд):
- <math> \ln 2 = 1 -\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{4} +\tfrac{1}{5} -\cdots. </math>
Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:
<math display="inline"> \quad\ln 2 = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{30}+\tfrac{1}{56}+\tfrac{1}{90}+\cdots </math>
Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:[2]
- <math> \ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} </math>
Вычисление других логарифмов
Если известно значение Шаблон:Math, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел Шаблон:Math затем определять исходя из разложения на простые множители:
- <math>c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln c = i\ln 2 +j\ln 3 +k\ln 5 +l\ln 7 +\cdots</math>
В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.
Простое число | Приблизительное значение натурального логарифма | OEIS |
---|---|---|
11 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
13 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
17 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
19 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
23 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
29 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
31 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
37 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
41 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
43 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
47 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
53 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
59 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
61 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
67 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
71 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
73 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
79 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
83 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
89 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
97 | Шаблон:Val | Шаблон:OEIS |
На третьем шаге логарифмы рациональных чисел Шаблон:Math вычисляются как Шаблон:Math, логарифмы корней: Шаблон:Math.
Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени Шаблон:Math, близкой к степени Шаблон:Math другого числа Шаблон:Math сравнительно несложно.
Известные значения
Это таблица последних записей по вычислению цифр <math>\ln(2)</math>. По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме[3][4] натурального числа, кроме 1.
Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
---|---|---|
7 января 2009 г. | 15 500 000 000 | A.Yee & R.Chan |
4 февраля 2009 г. | 31 026 000 000 | A.Yee & R.Chan |
21 февраля 2011 г. | 50 000 000 050 | Alexander Yee |
14 мая 2011 г. | 100 000 000 000 | Shigeru Kondo |
28 февраля 2014 г. | 200 000 000 050 | Shigeru Kondo |
12 июля 2015 г. | 250 000 000 000 | Ron Watkins |
30 января 2016 г. | 350 000 000 000 | Ron Watkins |
18 апреля 2016 г. | 500 000 000 000 | Ron Watkins |
10 декабря 2018 г. | 600 000 000 000 | Michael Kwok |
26 апреля 2019 г., | 1 000 000 000 000 | Jacob Riffee |
19 августа 2020 г. | 1 200 000 000 100 | Seungmin Kim[5][6] |
Примечания
Литература
Ссылки
развернутьПартнерские ресурсы |
---|