Русская Википедия:Неевклидова геометрия
2. Сферическая геометрия;
3. Геометрия Лобачевского
Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системамШаблон:Sfn: геометрии Лобачевского и сферической геометрии[1].
Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии ЛобачевскогоШаблон:Sfn.
Метрика для плоскости
Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координатШаблон:Sfn:
- Евклидова геометрия: <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math> (теорема Пифагора).
- Сферическая геометрия: <math>ds^2 = dx^2 + \cos^2\left(\frac{y}{R}\right) dy^2</math>. Здесь R — радиус сферы.
- Геометрия Лобачевского: <math>ds^2 = dx^2 + \operatorname{ch}^2\left(\frac{y}{R}\right) dy^2</math>. Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.
История понятия
Аксиоматика
Шаблон:Main Выше дано определение неевклидовых геометрий в терминах дифференциальной геометрии; однако можно описать их и с помощью чисто геометрической аксиоматики. Первая полная система аксиом для евклидовой и неевклидовой геометрий была построена Давидом Гильбертом в своём труде «Основания геометрии».
Исторически главное отличие неевклидовых геометрий от евклидовой отмечалось в теории параллельных прямых. Согласно аксиоме евклидовой геометрии, через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, а в сферической геометрии параллельных прямых нет вообще (все прямые пересекаются). Именно этот факт Гильберт положил в основу своей аксиоматики. Соответственно многие теоремы в разных геометриях различаются. Примеры:
| Величина | В евклидовой геометрии |
В геометрии Лобачевского |
В сферической геометрии |
|---|---|---|---|
| Сумма углов треугольника | равна <math>180^\circ</math> | меньше <math>180^\circ</math> | больше <math>180^\circ</math> |
| Отношение длины окружности к её диаметру |
равно <math>\pi</math> | больше <math>\pi</math> | меньше <math>\pi</math> |
В то же время существует класс аксиом (например, аксиомы движения), общий для всех трёх геометрийШаблон:Sfn. Геометрические теоремы, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского, принято называть «абсолютной геометрией»[2].
См. также
Примечания
Литература
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. — ISBN 978-5-9775-0419-5.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007. — ISBN 978-5-484-00871-1.
- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1988. Т. 29. — С. 5-146.
- Берже М. Геометрия. В 2 т. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
- Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956.
- Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.: изд. НКТП СССР, 1936. — 355 с.
- Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение, 1976.
- Шаблон:Книга
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.
- Шаблон:Книга
- Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — Изд. 3-е. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-166-2.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
Шаблон:Вс Шаблон:Разделы математики
- ↑ или локально схожей с ней геометрии Римана.
- ↑ Шаблон:Книга
