Русская Википедия:Нейтральный элемент
Шаблон:Redirect Шаблон:Nosources Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Определение
Пусть <math>(M,\cdot)</math> — множество <math>M</math> с определённой на нём бинарной операцией «<math>\cdot</math>». Элемент <math>e \in M</math> называется нейтральным относительно <math>\cdot</math> (умножения), если
- <math>x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M</math>.
В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm{l}}</math>, для которого
- <math>e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M</math>,
и правый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm{r}}</math>, для которого
- <math> x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M</math>.
В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент <math>e_{\mathrm l}</math>, и нейтральный справа элемент <math>e_{\mathrm r}</math>, то они обязаны совпадать (так как <math>e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} \cdot e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l}</math>).
Примеры
| Множество | Бинарная операция | Нейтральный элемент |
|---|---|---|
| Вещественные числа | <math>+</math> (сложение) | Шаблон:Num1 |
| Вещественные числа | <math>\cdot</math> (умножение) | Шаблон:Num1 |
| Вещественные числа | <math>-</math> (вычитание) | число 0 (нейтральный справа) |
| Вещественные числа | <math>a^b</math> (возведение в степень) | число 1 (нейтральный справа) |
| Расширенная числовая прямая | <math>\div</math> (деление) | число 1 (нейтральный справа) |
| Векторное пространство | <math>+</math> (сложение векторов) | <math>\vec 0</math> (нуль-вектор) |
| Матрицы размера <math>m \times n</math> | <math>+</math> (матричное сложение) | нулевая матрица |
| Матрицы размера <math>n \times n</math> | <math>\times</math> (матричное произведение) | единичная матрица |
| Функции вида <math>f:M\to M</math> | <math>\circ</math> (композиция функций) | тождественное отображение |
| Символьные строки | конкатенация | пустая строка |
| Расширенная числовая прямая | <math>\min</math> (минимум) или <math>\inf</math> (инфимум) | <math>+\infty</math> |
| Расширенная числовая прямая | <math>\max</math> (максимум) или <math>\sup</math> (супремум) | <math>-\infty</math> |
| Подмножества множества <math>M</math> | <math>\cap</math> (пересечение множеств) | <math>M</math> |
| Множества | <math>\cup</math> (объединение множеств) | <math>\varnothing</math> (пустое множество) |
| Исчисление высказываний | <math>\wedge</math> (конъюнкция) | <math>\top</math> (истина) |
| Исчисление высказываний | <math>\lor</math> (дизъюнкция) | <math>\bot</math> (ложь) |
Терминология
В алгебре
В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.
Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.
В теории решёток
В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».
См. также
Ссылки
- Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
- http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity Шаблон:Ref-ru
- http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html Шаблон:Ref-ru
- https://brilliant.org/wiki/identity-element/ Шаблон:Ref-en
- Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web ResourceШаблон:Ref-en
