Русская Википедия:Непредикативность (математика)
Непредикати́вность определения в математике и логике, нестрого говоря, означает, что осмысленность определения предполагает наличие определяемого объектаШаблон:Sfn. Пример: объект <math>x</math> определяется как такой элемент некоторого множества, который удовлетворяет определённому отношению между ним и всеми элементами этого множества (включая и само <math>x</math>)[1]. В некоторых случаях непредикативное определение может привести к недоразумениям или даже противоречиям. Противоположное по смыслу понятие — предикативность.
Для определений на формальном языке «Математическая энциклопедия» приводит более строгий вариант: Шаблон:Рамка Свойство (точнее, языковое выражение, выражающее это свойство) называется непредикативным, если оно содержит связанную переменную, в область изменения которой попадает определяемый объект. Свойство называется предикативным, если оно не содержит таких связанных переменных. |}
Не существует общепризнанного чёткого определения непредикативности, различные источники дают сходные, но разные определения. Например, встречается такое: определение объекта X непредикативно, если оно либо ссылается на само X, либо (чаще всего) на множество <math>M</math>, содержащее X; при этом <math>M</math> представляется законченным, хотя данное определение может повлиять на его состав[2]Шаблон:Sfn.
Примеры
Наиболее известный пример непредикативного построения — парадокс Рассела, в котором определяется совокупность всех множеств, не содержащих самих себя. Парадокс заключается в том, что так определённое множество внутренне противоречиво — оно одновременно и содержит себя, и не содержит. Наглядный исторический вариант этого парадокса — «парадокс брадобрея»: определение «житель деревни, который бреет тех жителей этой деревни, которые не бреются сами», является непредикативным, так как определяет жителя деревни, используя его отношения со всеми жителями деревни (а, значит, и с ним самим)[1]. Непредикативность обнаруживается и в других парадоксах теории множеств[2].
К непредикативным формулировкам часто относят и парадокс всемогущества: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?» Здесь используется понятие «всемогущество», определение которого внутренне противоречивоШаблон:Sfn. Аналогично устроен «парадокс лжеца», в котором утверждение отрицает само себя.
В математике существует, однако, немалое количество часто используемых непредикативных определений, не создающих проблем и не имеющих простого предикативного варианта. В классическом анализе, например, таково определение точной нижней грани числового множестваШаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Точной (наибольшей) нижней гранью подмножества <math>X</math> упорядоченного множества <math>M</math> называется наибольший элемент <math>M</math>, который не превосходит всех элементов множества <math>X.</math> |} Другой пример общепринятого и вполне безопасного непредикативного определения в анализе — определение максимального значения функции на заданном интервале, поскольку определяемое значение зависит от всех прочих, включая самого себяШаблон:Sfn.
Непредикативные конструкции использует доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте: построенная в итоге «неразрешимая формула» утверждает недоказуемость самой себя[3].
Наконец, в логике и информатике существуют рекурсивные определения и рекурсивные алгоритмы, в которых непредикативность изначально предусмотрена и является их неотъемлемой составной частью.
История
Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены в статье Рассела (1907)[4], хотя смысл термина тогда был несколько иным. Как опасный порочный круг непредикативные определения осудил Анри Пуанкаре (1905—1906, 1908), он считал их главным источником парадоксов теории множеств. Рассел поддержал эту оценку и в своей монографии «Principia Mathematica» принял меры по недопущению непредикативности (теория типов и «аксиома сводимости»)[5][6]. Герман Вейль в своей книге «Das Kontinuum» изложил философскую позицию, которую часто называют «предикативизм»[7].
Эрнст Цермело в 1908 году выступил с возражениями против чрезмерно радикального подхода и привёл два примера вполне безобидных непредикативных определений, часто используемых в анализе. Герман Вейль попытался найти предикативный аналог определения наименьшей верхней грани, но успеха не добился. С тех пор никому так и не удалось построить анализ в полном объёме на строго предикативной основе[8][2].
Примечания
Литература
- Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Френкель Α.- Α., Баρ-Xиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
- Чёрч Α. Введение в математическую логику. М., 1960.
- ↑ 1,0 1,1 Непредикати́вное определе́ние Шаблон:Wayback // Большая Российская энциклопедия.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Russell, B. (1907), On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
- ↑ Feferman, Solomon. Predicativity Шаблон:Wayback (2002)
- ↑ Willard V. Quine’s commentary before Bertrand Russell’s 1908 Mathematical logic as based on the theory of types
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокMEне указан текст
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Математическая логика
- Философия математики
- Основания математики
- Рекурсия
- Рекурсивные предложения
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
- Страницы с ошибками в примечаниях
