Русская Википедия:Непрерывное вейвлет-преобразование

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Underlinked Непрерывное вейвлет-преобразование (Шаблон:Lang-en) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию <math>x(t)</math>, определенную на временно́й оси переменной <math>t</math>, в функцию

<math>\gamma(\tau, s) =

 \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{s}} \psi^{*} \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt

</math> двух переменных <math>\tau</math> и <math>s</math>. Здесь <math>\tau</math> представляет параллельный перенос, <math>s</math> представляет масштаб и <math>\psi(t)</math> — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

<math>x(t) =

 \frac{1}{C_\psi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}
   \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \gamma(\tau, s)
     \frac{1}{\sqrt{s}} \psi\left( \frac{t - \tau}{s} \right) d\tau \frac{ds}{s^2}

</math> где

<math>C_\psi = 2\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty}

 \frac{\left| \Psi(\zeta) \right|^2}{\left| \zeta \right|} d\zeta

</math> называется постоянной допустимости и <math>\Psi</math> — преобразование Фурье от <math>\psi</math>. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

<math>C_\psi < +\infty</math>.

Критерий допустимости подразумевает, что <math>\Psi(0) = 0</math>, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

<math>\psi_{s,\tau}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t-\tau}{s} \right) </math>.

Ссылки

• John Sadowsky. Investigation of Signal Characteristics Using the Continuous Wavelet Transform. — P. 259–260

См. также

• Дискретное вейвлет-преобразование