Русская Википедия:Непрерывное отношение предпочтения
Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору <math>y</math> набор <math>x</math>, то он также предпочтёт наборам, близким к <math>y</math>, наборы, близкие к <math>x</math>.
Непрерывность отношения предпочтения обеспечивает также другие «желательные» свойства предпочтений. В частности для непрерывных неоклассических предпочтений существует непрерывная функция полезности, их представляющая. Если непрерывное отношение предпочтения, являющееся также и монотонным, то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров — это кривые безразличия).
Формальные определения
Непрерывность можно определить несколькими эквивалентными способами.
- Отношение предпочтения <math>\succeq</math> называется непрерывным, если для произвольного набора <math>y\in X</math> множества <math>\big\{x\in X: x\succeq y\big\}</math> и <math>\big\{z\in X: y\succeq z\big\}</math> являются замкнутыми. Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над <math>y</math> (то есть не хуже <math>y</math>), во втором множестве все наборы такие, что <math>y</math> слабо преобладает над ними (то есть они не лучше <math>y</math>).
- Отношение предпочтения <math>\succeq</math> называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей наборов <math>x_n</math> и <math>y_n</math>, таких что <math>x_n \succeq y_n</math> выполнено также и <math>x \succeq y</math>, где x и y — пределы этих последовательностей.
Для неоклассических предпочтений непрерывность нестрогого предпочтения может быть определена одним из следующих эквивалентных свойств строгого предпочтения <math>\succ</math>:
- Множество <math>\big\{x\in X: x\succ y\big\}</math> наборов, лучших <math>y</math>, и множество <math>\big\{z\in X: y\succ z\big\}</math> наборов, худших <math>y</math>, должны быть открытыми
- Если <math>x\succ y</math>, то существуют окрестности <math>V_x</math> и <math>V_y</math>, такие, что для любых <math>a \in V_x</math> и <math>b \in V_y</math> выполнено <math>a\succ b</math>
Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем <math>y</math> наборов, должно быть ещё множество наборов, которые являются безразличными по отношению <math>y</math> и разделяют первые два множества. Таким образом, из непрерывности следует, что перемещаясь от худшего произвольно выбранного набора <math>y</math> до лучшего <math>y</math>, по дороге всегда наткнёмся на набор, безразличный по отношению к <math>y</math>.
Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения.
См. также
Литература
- Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
- Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.
