Русская Википедия:Неприводимое представление

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Неприводимое представление <math>(\rho, V)</math> алгебраической структуры <math>A</math> — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления <math>(\rho|_W,W), W \subset V</math>, замкнутого по <math>\{ \rho(a) : a\in A \}</math>.

Любое конечномерное Шаблон:Не переведено 5 на эрмитовом векторном пространстве <math>V</math>[1] является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

История

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав Шаблон:Не переведено 5, в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем <math>K</math> с произвольной характеристикой, а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел. Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль.

Обзор

Шаблон:См. также

Пусть <math>\rho</math> будет представлением, то есть гомоморфизмом <math>\rho: G\to GL(V)</math> группы <math>G</math>, где <math>V</math> является векторным пространством над полем <math>F</math>. Если мы выберем базис <math>B</math> для <math>V</math>, <math>\rho</math> можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением. Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство <math>V</math> без базиса.

Линейное подпространство <math>W\subset V</math> называется <math>G</math>-инвариантом, если <math>\rho(g)w\in W</math> для всех <math>g\in G</math> и всех <math> w\in W</math>. сужение <math>\rho</math> на <math>G</math>-инвариантное подпространство <math>W\subset V</math> известно как подпредставление. Говорят, что представление <math>\rho: G\to GL(V)</math> неприводимо, если оно имеет лишь тривиальные подпредставления (все представления могут образовать подпредставление с тривиальными <math>G</math>-инвариантными подпредставлениями, например, со всем векторным пространством <math>V</math> и {0}). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство <math>\rho</math>, говорят, что представление приводимо.

Обозначения и терминология представления групп

Элементы группы могут быть представлены матрицами, хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть Шаблон:Math означают элементы группы Шаблон:Math с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть Шаблон:Math является групповым произведением Шаблон:Math и Шаблон:Math, которое также является элементом группы Шаблон:Math. Пусть представления обозначаются буквой Шаблон:Math. Представление элемента a записывается как

<math>D(a) = \begin{pmatrix}

D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\ D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\ \end{pmatrix}</math>

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

<math>D(ab) = D(a)D(b) </math>

Если Шаблон:Math является нейтральным элементом группы (так, что <math>ae = ea = a</math>), то Шаблон:Math является единичной матрицей, поскольку мы должны иметь

<math>D(ea) = D(ae) = D(a)D(e) = D(e)D(a) = D(a)</math>

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы Шаблон:Math было гомоморфизмом групп.

Разложимые и неразложимые представления

Представление разложимо, если подобная матрица Шаблон:Math может быть найдена для преобразования подобияШаблон:Sfn:

<math> D'(a) \equiv P^{-1} D(a) P</math>,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления Шаблон:Math и Шаблон:Math эквивалентныШаблон:Sfn. Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц:

<math>D'(a) = P^{-1} D(a) P = \begin{pmatrix}

D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\ \end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a) </math>,

так что Шаблон:Math является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как Шаблон:Math для Шаблон:Math, хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность Шаблон:Math равна сумме размерностей блоков:

<math>\dim[D(a)] = \dim[D^{(1)}(a)] + \dim[D^{(2)}(a)] + \cdots + \dim[D^{(k)}(a)] </math>

Если это невозможно, то есть <math>k = 1</math>, то представление неразложимоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы <math>G</math> имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров. В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы <math>G</math> равно числу классов сопряжённости <math>G</math>Шаблон:Sfn.

  • Неприводимые комплексные представления <math>\Z/n\Z</math> в точности задаются отображениями <math>1 \mapsto \gamma</math>, где <math>\gamma</math> является <math>n</math>-м корнем из единицы.
  • Пусть <math>V</math> будет <math>n</math>-мерным комплексным представлением <math>S_n</math> с базисом <math>\{v_i\}^n_{i=1}</math>. Тогда <math>V</math> разлагается как прямая сумма неприводимых представлений
<math>V_{triv} = \Complex \left ( \sum^n_{i=1} v_i \right )</math>
и ортогональное подпространство задаётся формулой:
<math>V_{std} = \left \{ \sum^n_{i=1} a_i v_i : a_i \in \Complex, \sum^n_{i=1} a_i = 0 \right \}</math>
Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению <math>S_n</math>. Второе является <math>n-1</math> мерным и известно как стандартное представление <math>S_n</math>Шаблон:Sfn.
  • Пусть <math>G</math> — группа. Шаблон:Не переведено 5 группы <math>G</math> является свободным комплексным векторным пространством с базисом <math>\{e_g\}_{g \in G}</math> с групповым действием <math>g \cdot e_{g'} = e_{gg'}</math>, обозначаемым как <math>\Complex G.</math> Все неприводимые представления <math>G</math> появляются в разложении <math>\Complex G</math> как прямая сумма неприводимых представлений.

Приложения в теоретической физике и химии

Шаблон:См. также

В квантовой механике и квантовой химии каждое множество вырожденных собственных состояний гамильтонова оператора составляет векторное пространство Шаблон:Mvar для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплет», который лучше всего изучается через сведение к неприводимым частям. Обозначения неприводимых представлений поэтому позволяет назначить метки состояниям и предсказать, как они Шаблон:Не переведено 5 при возмущении или перейдут в другое состояние в Шаблон:Mvar. Таким образом, в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью определяют метки уровням энергии системы, что позволяет определить правила отбора[2].

Группы Ли

Шаблон:Основная статья

Группа Лоренца

Шаблон:Основная статья

Неприводимые представления Шаблон:Math и Шаблон:Math, где Шаблон:Math является генератором вращений, а Шаблон:Math является генератором бустов, могут быть использованы для построения Шаблон:Не переведено 5 группы Лоренца, поскольку они связаны со Шаблон:Не переведено 5 квантовой механики. Это позволяет использовать их для вывода Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

См. также

Ассоциативная алгебра

Группы Ли

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Книги

Статьи

Шаблон:Refend

Литература для дальнейшего чтения

Ссылки

Шаблон:Теория групп Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Определение Конечномерное векторное пространство над полем С, снабженное положительно определенной эрмитовой формой, называется эрмитовым пространством Шаблон:Harv, Шаблон:Harv
  2. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Неприводимое_представление&oldid=10458146