Русская Википедия:Неприводимый многочлен
Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.
Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).
Определение
Многочлен <math>p(x_1,x_2,..,x_n)</math> от <math>n</math> переменных над полем <math>k</math> называется неприводимым над полем <math>k</math>, если он является простым элементом кольца <math>k[x_1,x_2,..,x_n]</math>, то есть не является константой и не представим в виде произведения <math>p=qr</math>, где <math>q</math> и <math>r</math> ― многочлены с коэффициентами из <math>k</math>, отличные от констант.
Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.
Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида
- <math>p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n</math>
абсолютно неприводим.
Корни неприводимого многочлена называются сопряжёнными.
Свойства
- Кольцо многочленов <math>k[x_1,x_2..,x_n]</math> факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
- Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень <math>z</math>, а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент <math>\overline{z} \neq z</math>; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен <math>(x-z)(x-\overline{z})</math>, что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
- Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен <math>x^n+px+p</math>, где <math>n>1</math> и <math>p</math> ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
- Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
- Если <math>k = F_q</math> — конечное поле из <math>q</math> элементов, а <math>n</math> — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из <math>k[x]</math>.
- Предположим, что <math>A</math> ― целозамкнутое кольцо с полем частных <math>k</math> (например <math>A=\Z</math> и <math>k=\mathbb Q</math>) и <math>p\in A[x]</math> ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда <math>p=qr</math> в <math>k[x]</math>, причём <math>q</math> и <math>r</math> имеют старший коэффициент 1, то <math>q,r\in A[x]</math>.
- Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности <math>\sigma:A\to B</math>. Если степень многочлена <math>\sigma(p)</math> совпадает со степенью многочлена <math>p</math> и <math>\sigma(p)</math> неприводим над полем частных области <math>B</math>, то не существует разложения <math>p=qr</math>, где <math>p, r\in A[x]</math> и отличны от константы.
- Например, многочлен <math>p</math> со старшим коэффициентом <math>1</math> прост в <math>\Z[x]</math> (и, следовательно, неприводим в <math>\mathbb Q[x]</math>), если прост многочлен <math>\sigma(p)</math>, полученный из <math>p</math> редукцией коэффициентов по модулю простого числа.
Примеры
Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:
- <math>p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)^2}</math>,
- <math>p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)}</math>,
- <math>p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)</math>,
- <math>p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})</math>,
- <math>p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}</math>, где <math>i^2</math> <math>={-1}</math>.
Над кольцом <math>\Z</math> целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).
Над полем <math>\Q</math> рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.
Над полем <math>\R</math> действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но <math>p_5(x)</math> является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена <math>x^4 + 1</math> в поле действительных чисел имеет вид <math>(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)</math>. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.
Над полем <math>\Complex</math> комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен <math>p(x)</math> над <math>\Complex</math> может быть разложен на множители вида:
- <math> p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)</math>,
где <math> \ n </math> — степень многочлена, <math> \ a </math> — старший коэффициент, <math>\ z_1,\ldots,z_n</math> — корни <math>\ p(x)</math>. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над <math> \Complex </math> являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).
Конечные поля
Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем <math>\Q</math>, могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен <math>x^2+1</math> является неприводимым над <math>\Q</math>, но над полем <math>\mathbb F_2</math> из двух элементов мы имеем:
- <math>(x^2+1)=(x+1)^2.</math>
Литература
