Русская Википедия:Неравенство
Шаблон:Другое значение Шаблон:Похожие буквы Шаблон:Похожие буквы Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа (или два иных математических объекта) с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
- Строгие неравенства
- <math>a < b</math> — означает, что <math>a</math> Шаблон:Видимый якорь, чем <math>b.</math>
- <math>a > b </math> — означает, что <math>a</math> Шаблон:Видимый якорь, чем <math>b.</math>
Неравенства <math>a > b</math> и <math>b < a</math> равносильны. Говорят, что знаки <math>></math> и <math><</math> противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <math><</math> заменено на <math>></math> или наоборот.
- Нестрогие неравенства
- <math>a \leqslant b</math> — означает, что <math>a</math> меньше или равно <math>b.</math>
- <math>a \geqslant b</math> — означает, что <math>a</math> больше или равно <math>b.</math>
Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.
- Другие типы неравенств
- <math>a \neq b </math> — означает, что <math>a</math> не равно <math>b</math>.
- <math>a \gg b</math> — означает, что величина <math>a</math> намного больше, чем <math>b.</math>
- <math>a \ll b</math> — означает, что величина <math>a</math> намного меньше, чем <math>b.</math>
Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.
В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
Связанные определения
Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
- <math>a<b<c</math> — это краткая запись пары неравенств: <math>a<b</math> и <math>b<c.</math>
Числовые неравенства
Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных <math>(x,y,\dots).</math> Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство <math>18x < 414</math> — алгебраическое первой степени, неравенство <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> — алгебраическое третьей степени, неравенство <math>2^x > x+4 </math> — трансцендентноеШаблон:Sfn.
Свойства
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
- От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из <math>a+b<c</math> следует, что <math>a<c-b.</math>
- Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
- Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, <math>a<b</math> и <math>c<d,</math> то <math>a+c<b+d.</math> Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
- Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
- Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
- Другие свойства
- Транзитивность: если <math>a<b</math> и <math>b<c,</math> то <math>a<c</math> и аналогично для прочих знаков.
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.
Решение неравенств
Пусть даны функции <math>f\left(x \right)</math> и <math>g\left(x \right)</math>. Если требуется найти все числа <math>\alpha</math> из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство <math>f \left(\alpha \right) > g \left(\alpha \right) </math>, то говорят, что требуется решить неравенство
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
- <math>x^2<4</math> выполняется при <math>-2<x<2.</math>
- <math>x^2>4</math> выполняется, если <math>x>2</math> или <math>x<-2.</math>
- <math>x^2<-4</math> не выполняется никогда (решений нет).
- <math>x^2>-4</math> выполняется при всех <math>x</math> (тождество).
Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство <math>x>3</math> возвести в квадрат: <math>x^2>9,</math> то появится ошибочное решение <math>x<-3,</math> не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
Неравенства первой степени
Неравенство первой степени имеет общий формат: <math>ax>b</math> или <math>ax<b,</math> где <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> и <math>\leqslant</math> аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на <math>a</math> и, если <math>a<0,</math> измените знак неравенства на противоположныйШаблон:Sfn. Пример:
- <math>5x-11>8x+1.</math> Приведём подобные члены: <math>-3x>12,</math> или <math>x<-4.</math>
Системы неравенств первой степени
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
Пример 1. Из системы <math>\begin{cases} 4x-3>5x-5 \\ 2x+4<8x\end{cases}</math> получаем два решения: для первого неравенства <math>x<2,</math> для второго: <math>x>{2\over 3}.</math> Соединяя их, получаем ответ: <math>{2\over 3}<x<2.</math>
Пример 2. <math>\begin{cases} 2x-3>3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> Решения: <math>x<2</math> и <math>x<{2\over 3}.</math> Второе решение поглощает первое, так что ответ: <math>x<{2\over 3}.</math>
Пример 3. <math>\begin{cases} 2x-3<3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> Решения: <math>x>2</math> и <math>x<{2\over 3},</math> они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.
Неравенства второй степени
Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):
- <math>x^2+px+q>0</math> или <math>x^2+px+q<0.</math>
Если квадратное уравнение <math>x^2+px+q=0</math> имеет вещественные корни <math>x_1, x_2,</math> то неравенство можно привести к виду соответственно:
- <math>(x-x_1)(x-x_2)>0</math> или <math>(x-x_1)(x-x_2)<0.</math>
В первом случае <math>x-x_1</math> и <math>x-x_2</math> должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правилоШаблон:Sfn. Шаблон:Рамка Квадратный трёхчлен <math>x^2+px+q</math> с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала. |}
Если оказалось, что у уравнения <math>x^2+px+q=0</math> вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех <math>x.</math> Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примерыШаблон:Sfn).
Пример 1. <math>-2x^2+14x-20>0.</math> Разделив на <math>-2,</math> приведём неравенство к виду: <math>x^2-7x+10<0.</math> Решив квадратное уравнение <math>x^2-7x+10=0,</math> получаем корни <math>x_1=2; x_2=5,</math> поэтому исходное неравенство равносильно такому: <math>(x-2)(x-5)<0.</math> Согласно приведенному выше правилу, <math>2<x<5,</math> что и является ответом.
Пример 2. <math>-2x^2+14x-20<0.</math> Аналогично получаем, что <math>x-2</math> и <math>x-5</math> имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, <math>x<2,</math> или <math>x>5.</math>
Пример 3. <math>x^2+6x+15>0.</math> Уравнение <math>x^2+6x+15=0</math> не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех <math>x.</math> При <math>x=0</math> левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех <math>x</math>).
Пример 4. <math>x^2+6x+15<0.</math> Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалахШаблон:Sfn.
Прочие неравенства
Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Некоторые известные неравенства
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границыШаблон:Sfn.
- <math>a+{1\over a} \geqslant 2,</math> где <math>a>0.</math> Равенство имеет место только при <math>a=1.</math>
- <math>\sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2},</math> где <math>a,b>0.</math> Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при <math>a=b.</math>
- Неравенство о средних
- Неравенство Бернулли:
- <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx,</math> где <math>x\geqslant -1, n</math> — положительное число, большее 1.
- <math>|a+b|\leqslant |a|+|b|</math>
- См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.
Знаки неравенства в языках программирования
Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.
| символ | языки |
|---|---|
| != | C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language |
| <> | Basic, Pascal, 1С |
| ~= | Lua |
| /= | Haskell, Fortran, Ada |
| # | Modula-2, Oberon |
Коды знаков неравенств
| Символ | Изображение | Юникод | Русское название | HTML | LaTeX | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника | ||||
| < | <math><</math> | U+003C | Шаблон:Sc | Меньше | < | < | < | <, \textless |
| > | <math>></math> | U+003E | Шаблон:Sc | Больше | > | > | > | >, \textgreater |
| ⩽ | <math>\leqslant</math> | U+2A7D | Шаблон:Sc | Меньше или равно | ⩽ | ⩽ | нет | \leqslant |
| ⩾ | <math>\geqslant</math> | U+2A7E | Шаблон:Sc | Больше или равно | ⩾ | ⩾ | нет | \geqslant |
| ≤ | <math>\le</math> | U+2264 | Шаблон:Sc | Меньше или равно | ≤ | ≤ | ≤ | \le, \leq |
| ≥ | <math>\ge</math> | U+2265 | Шаблон:Sc | Больше или равно | ≥ | ≥ | ≥ | \ge, \geq |
| ≪ | <math>\ll</math> | U+226A | Шаблон:Sc | Много меньше | ≪ | ≪ | нет | \ll |
| ≫ | <math>\gg</math> | U+226B | Шаблон:Sc | Много больше | ≫ | ≫ | нет | \gg |
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
