Русская Википедия:Неравенство Адамара
Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях[1]), определяет верхнюю границу объёма тела в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве, заданного <math>n</math> векторами. Названо в честь Жака Адамара.
Формулировка
Пусть <math>v_i\in\R^n,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>, а <math>M</math> — матрица, столбцами которой являются векторы <math>v_i:i=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>. Тогда
- <math>|\det(M)|\leqslant\prod_{i=1}^n{||v_i||}_2,</math>
где <math>{||\cdot||}_2</math> — евклидова норма вектора.
Другими словами, с точки зрения геометрии объём <math>n</math>-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.
Лемма
Докажем сначала небольшую лемму:
Если матрица <math>A</math> размерности <math>n\times n</math> положительно определённая, то
- <math>|A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.</math>
Доказательство леммы
Определитель <math>|A|</math> можно представить в виде
- <math>|A|=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.</math>
Так как <math>A</math> положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным <math>a_{12},\;a_{13},\;\ldots,\;a_{1n}</math>, каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого
- <math>|A|\leqslant a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.</math>
Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.
Доказательство неравенства Адамара
Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида <math>A=MM^T</math>.
Матрицы, определители которых достигают границы Адамара
В комбинаторикe матрицы с элементами из <math>\{+1,\;-1\}</math>, для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен <math>n^{\frac{n}{2}}</math>. Из таких матриц получают коды Адамара.
См. также
Примечания
Литература
- R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
- F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
- E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.
