Русская Википедия:Неравенство Безиковича

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Безиковича в дифференциальной геометрии — соотношение, которое даёт нижнюю оценку площади поверхности с краем, допускающей параметризацию квадратом <math>[0,1]\times[0,1]</math>. Названо по имени Абрама Безиковича.

Формулировка

Для римановой метрики <math>g</math> на <math>n</math>-мерном кубе <math>[0,1]^n</math> выполняется неравенство

<math>\mathop{\rm vol}([0,1]^n,g)\ge\prod_{i=1}^n a_i</math>,

где <math>a_i</math> обозначает расстояние в <math>g</math> между <math>i</math>-ой парой противоположных граней.

Следствия

• Пусть <math>g</math> есть метрика без сопряжённых точек на <math>\R^n</math>, которая совпадает с евклидовой вне компактного множества. Тогда <math>(\R^n,g)</math> изометрично евклидову пространству.

Вариации и обобщения

• Неравенство Безиковича с константой выполняется для произвольных метрик на квадрате, вместо объёма можно взять меру Хаусдорфа той же размерности.

• Для финслеровых метрик верна похожая оценка с константой, которая зависит от размерности и типа объёма.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Cite web