Нера́венство Берну́лли утверждает[1]: если <math>x > -1</math>, то
- <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math> для всех натуральных <math>n\geqslant 1.</math>
Доказательство
Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n.
При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
- <math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geqslant (1+x)(1+nx) \geqslant (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>,
ч.т.д.
Обобщенное неравенство Бернулли
Обобщенное неравенство Бернулли утверждаетШаблон:Sfn, что при <math>x > - 1 \!\ </math> и <math>n\in\mathbb{R}</math>:
- если <math> n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )</math>, то <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math>
- если <math> n\in(0;1) \!\ </math>, то <math>(1+x)^n\leqslant 1+nx</math>
- при этом равенство достигается в двух случаях: <math>\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.</math>
Шаблон:Доказ1
Замечания
- Неравенство также справедливо для <math>x\geqslant -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> можно провести тем же методом математической индукции:
- <math>(1+x)^{n+1} + (1+x)^n = (1+x)^n(1+x+1) \geqslant (1+nx)(1+x+1) = 1+(n+1)x+1+nx(1+x).</math>
Так как при <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> выполняется <math>(1+x)^n \leqslant 1 \leqslant 1+nx(1+x)</math>, то <math>(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x</math>.
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносок BS212
не указан текст