Русская Википедия:Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Бернштейна связывает норму производной многочлена с нормой самого многочлена.

Формулировка

Пусть <math>f_n</math> — вещественнозначный тригонометрический многочлен степени <math>n</math>, тогда:

<math>\|f_n'\|_\infty \leqslant n\cdot\|f_n\|_\infty</math>.

История

• Неравенство с константой <math>2n</math> было установлено российским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
• Уточнение было получено Эдмундом Ландау, он доказал неравенство с оптимальной константой <math>n</math>.
• В 1914 году Марсель Рис перенёс последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
• А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства <math>L^p</math> при <math>p \geqslant 1</math>:

  <math>\|f_n'\|_p \leqslant n\|f_n\|_p</math>.

• В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при <math>0 < p < 1</math>.
• Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

<math>\|f_n'\|_p \leqslant C(n, p) \|f_n\|_\infty</math>.

Ссылки

• Парфененков Андрей Владимирович НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В ПЛОСКОСТИ