Русская Википедия:Неравенство Бишопа — Громова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка

Пусть <math>M</math> — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

<math>\mathrm{Ric} \geqslant (n-1) K</math>

для постоянной <math>K\in \mathbb{R}</math>.

Обозначим через <math>B(p,r)_M</math> шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть <math>\mathbb{M}^n(K)</math> обозначает n-мерное модельное пространство. То есть <math>\mathbb{M}^n(K)</math> — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны <math>K</math>. Таким образом,

• <math>\mathbb{M}^n(K)</math> является n-сферой радиуса <math>1/\sqrt{K}</math>, если <math>K>0</math>, или
• n-мерным евклидовым пространством, если <math>K=0</math>, или
• пространством Лобачевского с кривизной <math>K<0</math>.

Тогда для любых <math>p\in M</math> и <math>\tilde p\in\mathbb{M}^n(K)</math> функция

<math> \phi(r) = \frac{\operatorname{Vol} B(p,r)_M}{\operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}} </math>

не возрастает в интервале <math>(0,\infty)</math>.

Замечания

• При <math>K=0</math> неравенство можно записать следующим образом

  <math>\operatorname{Vol} B(p,\lambda\cdot r)_M\leqslant \lambda^n\cdot \operatorname{Vol} B(p,r)_M</math>

при <math>\lambda\geqslant 1</math>.

• Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что

  <math>\operatorname{Vol}B(p,r)_M \leqslant \operatorname{Vol} B(\tilde p,r)_{\mathbb{M}^n(K)}.</math>

Эта версия впервые доказана Бишопом.

См. также

• Теорема Майерса