Русская Википедия:Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство

<math> c_1^2 \leqslant 3 c_2</math>

между Шаблон:Не переведено 5 компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо ЯуШаблон:SfnШаблон:Sfn и МиаокиШаблон:Sfn, после того как Ван де ВенШаблон:Sfn и Фёдор БогомоловШаблон:Sfnдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.

Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — ЛенгШаблон:Sfn и ИстонШаблон:Sfn привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как Шаблон:Не переведено 5, для которых неравенство не выполняется.

Формулировка неравенства

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность Шаблон:Не переведено 5, и пусть <math>c_1 = c_1(X)</math> и <math>c_2 = c_2(X)</math> — первый и второй Шаблон:Не переведено 5 комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

<math> c_1^2 \leqslant 3 c_2. </math>

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении Шаблон:Не переведено 5.

Поскольку <math> c_2(X) = e(X) </math> является топологической характеристикой Эйлера, а по Шаблон:Не переведено 5 <math> c_1^2(X) = 2 e(X) + 3\sigma(X) </math>, где <math>\sigma(X)</math> является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

<math> \sigma(X) \leqslant \frac{1}{3} e(X), </math>

и более того, если <math>\sigma(X) = (1/3)e(X)</math>, универсальное покрытие является шаром.

Вместе с Шаблон:Не переведено 5 неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется Шаблон:Не переведено 5. См. статью Шаблон:Не переведено 5.

Поверхности с c12 = 3c2

Пусть X — поверхность общего типа с <math> c_1^2 = 3 c_2</math>, так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей ЯуШаблон:Sfn доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в <math>{\mathbb C}^2</math> по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. БорельШаблон:Sfn показал, что существует бесконечно много значений <math>c_1^2 = 3c_2</math>, для которых поверхности существуют. МамфордШаблон:Sfn нашёл ложную проективная плоскость с <math>c_1^2 = 3c_2 = 9</math>, которая имеет минимальное возможное значение, поскольку <math>c_1^2 + c_2</math> всегда делится на 12, а Прасад и ЙенШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также Картрайт и СтегерШаблон:Sfn показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и ХёферШаблон:Sfn дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с <math>c_1^2 = 3c_2 = 3^25^4</math>. ИсидаШаблон:Sfn нашёл фактор такой поверхности с <math>c_1^2 = 3c_2 = 45</math> и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с <math>c_1^2 = 3c_2 = 45</math> для любого положительного k. Картрайт и Стегер Шаблон:Sfn нашли примеры с <math>c_1^2 = 3c_2 = 9n</math> для любого положительного целого n.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Неравенство_Богомолова_—_Миаоки_—_Яу&oldid=10458338