Русская Википедия:Неравенство Гарнака

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Гарнака — если функция <math>U(M)=U(x_1, ..., x_k)</math>, гармоническая в <math>k</math>-мерном шаре <math>Q_R</math> радиуса <math>R</math> с центром в некоторой точке <math>M_0</math>, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках <math>M</math> внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: <math>R^{k-2}\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}U(M_0) \leqslant U(M) \leqslant R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)</math>, где <math>r=\rho(M_0, M)<R</math>.

Доказательство

В силу формулы Пуассона для точек <math>M</math> внутри шара <math>Q_{R'}(R'<R)</math> имеем <math>U(M) = \frac { \Gamma (k/2) }{ 2 \pi ^ {k/2} R' } \int \limits_{\gamma}(Q_{R'})U(N)\frac{{R'}^{2}-r^2}{({R'}^2+r^2-2R'r\cos\theta)^{r/2}}d\sigma</math>. Учитывая неравенства <math>(R'-r)^2 \leqslant {R'}^2 + r^2 - 2R'r\cos\theta \leqslant (R'+r)^2 </math>, благодаря условию <math>U(N) \geqslant 0</math> получим отсюда, что <math>{R'}^{k-2}\frac{{R'}^2-r^2}{(R'+r)^k}\frac{\Gamma(k/2)}{2\pi^{k/2}{R'}^{k-1}}\int\limits_\gamma(Q_{R'}) U(N)d\sigma \leqslant U(M) \leqslant {R'}^{k-2}\frac{{R'}^2-r^2}{(R'-r)^k}\frac{\Gamma(k/2)}{2\pi^{k/2}{R'}^{k-1}}\int\limits_\gamma(Q_{R'}) U(N)d\sigma</math>, или, применяя теорему Гаусса <math>{R'}^{k-2}\frac{{R'}^2-r^2}{(R'+r)^k}U(M_0) \leqslant U(M) \leqslant {R'}^{k-2}\frac{{R'}^2-r^2}{(R'-r)^k}U(M_0)</math>. Таким образом, переходя к пределу при <math>R' \rightarrow R</math>, получим неравенство Гарнака <math>R^{k-2}\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}U(M_0) \leqslant U(M) \leqslant R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)</math>.

Литература

• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.