Русская Википедия:Неравенство Гёльдера
Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств <math>L^p</math>.
Формулировка
Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой, а <math>L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство функций вида <math>f:X \to \mathbb{R}</math> с конечной интегрируемой <math>p</math>‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:
- <math>\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}</math>,
где <math>p \ge 1 </math> , обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть <math>f \in L^p</math>, а <math>g \in L^q</math>, где <math>p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1</math>. Тогда <math>f \cdot g \in L^1</math>, и
- <math>\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.
Доказательство
Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть <math>X</math> — пространство с мерой <math>\mu</math>, <math>E \subset X</math>, <math>E</math> измеримо. Тогда:
<math>
f \in L^{p}, g \in L^{q}, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1
\Rightarrow
\int\limits_E |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\int\limits_E \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\int\limits_E |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\int\limits_E |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}
</math>
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
<math>
a, b \geq 0, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1
\Rightarrow
a^{1/p} b^{1/q}
\leq
\dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}
</math>
Положим
<math>
a = \dfrac{|f(x)|^{p}}{\int\limits_E |f|^{p} d\mu}
\quad
b = \dfrac{|g(x)|^{q}}{\int\limits_E |g|^{q} d\mu}
\quad
I_1 = \int\limits_E |f|^{p} d\mu > 0
\quad
I_2 = \int\limits_E |g|^{q} d\mu > 0
</math>
Применяя неравенство, получаем:
<math>
|f(x) g(x)|
\leq
I_1^{1/p} I_2^{1/q}
\left(
\dfrac{|f(x)|^{p}}{p \cdot I_1} + \dfrac{|g(x)|^{q}}{q \cdot I_2}
\right)
</math>
Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству <math>E</math> (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по <math>E</math>, получаем:
<math>
\int\limits_E |f g| \, d\mu
\leq
I_1^{1/p} I_2^{1/q}
\left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right)
=
I_1^{1/p} I_2^{1/q}
</math>
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если <math>I_1</math> или <math>I_2</math> равен 0, то это значит, что <math>f</math> или <math>g</math> эквивалентны нулю на <math>E</math>, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.
Частные случаи
Неравенство Коши — Буняковского
Положив <math>p = q = 2</math>, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства <math>L^2</math>.
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство <math>E = \mathbb{R}^n</math> или <math>\mathbb{C}^n</math>. <math>L^p</math>-норма в этом пространстве имеет вид:
- <math>\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}</math>,
и тогда
- <math> \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E</math>.
Пространство lp
Пусть <math>X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m</math> — счётная мера на <math>\mathbb{N}</math>. Тогда множество всех последовательностей <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, таких что:
- <math>\|x\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty</math>,
называется <math>l^p</math>. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:
- <math> \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q</math>.
Вероятностное пространство
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Тогда <math>L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> состоит из случайных величин с конечным <math>p</math>-м моментом: <math>\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty</math>, где символ <math>\mathbb{E}</math> обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:
- <math> \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q</math>.
См. также
Литература
