Русская Википедия:Неравенство Джексона — Стечкина
Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:
- <math>E_n(f)_{L^2}<K\omega_f(\delta).</math>
В примере величина наилучшего приближения функции <math>f</math> полиномами степени <math>n</math> в пространстве <math>L^2</math> оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции <math>f</math> в точке <math>\delta</math>. Величина <math>K</math> называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа <math>\delta</math>, при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.
История
Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (Шаблон:Lang-en) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что
- <math>E_n(f)\leqslant c\omega\left(f,\;\frac{1}{n}\right)</math>
и
- <math>E_n(f)\leqslant \frac{c_r}{n^r}\omega\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).</math>
Здесь <math>E_n(f)</math> есть величина наилучшего приближения функции <math>f</math> в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени <math>n-1</math>. В первом неравенстве функция <math>f</math> предполагается непрерывной, а во втором — <math>r</math>-раз дифференцируемой.
В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка <math>k</math>. В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что
- <math>E_n(f)\leqslant c_k\omega_k\left(f,\;\frac{1}{n}\right)</math>
и
- <math>E_n(f)\leqslant\frac{c_{k+r}}{n^r}\omega_k\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).</math>
Здесь константы <math>c_k</math> не зависят от <math>f</math>, <math>n</math> или <math>r</math>. В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.
В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:
- <math>E_n(f)<1\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right).</math>
В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах <math>L_p</math> для всех <math>p\in[1,\;\infty)</math>:
- <math>E_n(f)_p<\frac{3}{2}\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right)_p.</math>
Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.
