Русская Википедия:Неравенство Йенсена

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Convex-function-graph-1.png

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Формулировки

Сумматорный вариант неравенства

Пусть функция <math>f</math> является выпуклой на некотором интервале <math>I</math> и числа <math>\ q_1,q_2,\ldots,q_n</math> (веса) таковы, что

<math>\ q_1,q_2,\ldots,q_n>0</math> и <math>\ q_{1}+q_2+\ldots+q_n=1</math>.

Тогда каковы бы ни были числа <math>\ x_1,x_2,\ldots,x_n</math> из <math>I</math>, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

<math> f(q_1x_1+q_2x_2+\ldots+q_nx_n)\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+q_nf(x_n),</math>

или

<math>f \left( \sum_{i=1}^{n} q_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} q_i f (x_i)</math>.

Замечания:

• Если функция <math>\ f(x)</math> вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю <math>q_1=q_2=\frac {1}{2}</math>:

<math>f \left( \frac {x_1+x_2}{2} \right) \le \frac {f(x_1)+f(x_2)} {2}</math>.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Шаблон:Hider f(x_n)+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} f(x_{n+1}) \right)</math>; это даст возможность воспользоваться неравенством для <math>\ n</math> и установить, что выражение выше не превосходит суммы

<math> q_1f(x_1)+q_2f(x_2)+\ldots+(q_n+q_{n+1}) f\left( \frac {q_n}{q_n+q_{n+1}} x_n+ \frac {q_{n+1}}{q_n+q_{n+1}} x_{n+1} \right)</math>.

Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для <math>\ n=2</math>. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано. }}

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Геометрическая интерпретация

Точка <math>(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})</math> является выпуклой комбинацией <math>n</math> точек <math>(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))</math> плоскости, лежащих на графике функции <math>f</math>. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции <math>f</math>, а это и означает, что <math>f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}</math>.

Интегральная формулировка

Пусть <math>\varphi</math> — выпуклая функция, <math>\mu</math> — вероятностная мера, а функции <math>f</math> и <math>\varphi(f)</math> интегрируемы. Тогда

<math> \varphi\left(\int f \, d \mu \right) \leqslant \int \varphi(f) \, d \mu. </math>

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

<math>\varphi\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi(f(x)) \, dx. </math>

Вероятностная формулировка

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство, и <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — определённая на нём случайная величина. Пусть также <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если <math>X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, то

<math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>,

где <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math> — под-σ-алгебра событий. Тогда

<math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>,

где <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры <math>\mathcal{G}</math>.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

• Пусть <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> — положительные числа, <math>p,q>1</math>, причём <math>\frac1p+\frac1q=1</math>. Тогда

<math>\sum_{i=1}^{n} {a_ib_i} \le \left(\sum _{i=1}^{n} {a_i}^p\right)^\frac{1}{p}\left(\sum _{i=1}^{n} {b_i}^q\right)^\frac1q</math>.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

• Пусть <math>\ f(x)=\ln x</math> (вогнутая функция). Имеем:

<math>\sum _{i=1}^{n} {q_i\ln x_i}\le \ln\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right) </math>, или <math>\ln\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \ln\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} </math>. Потенцируя, получаем неравенство <math>\prod _{i=1}^{n} {x_i^{q_i}}\le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} </math>.

В частности, при <math>q_i=\frac{1}{n}</math> получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

<math>\sqrt[n]{\phantom{1}\!x_1 \ldots x_n}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}</math>.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть <math>\ f(x)=x\ln x</math> (выпуклая функция). Имеем:

<math>\left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \ln \left( \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i} \right) \le \sum_{i=1}^{n} {q_ix_i \ln x_i} </math>. Положив <math>q_i=\frac{\frac{1}{x_i}}{\sum_{i=1}^{n} {\frac{1}{x_i}}}</math> и потенцируя, получаем:

<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} </math> (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть <math>\ f(x)=\frac{1}{x}</math> (выпуклая функция). Имеем: <math>\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}} \le \sum_{i=1}^{n} {\frac{q_i}{x_i}}. </math>

В частности при <math>q_i=\frac{1}{n}</math> получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\le\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}.</math>

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга