Русская Википедия:Неравенство Карлемана
Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство[1]. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях[2][3].
Формулировка
Шаблон:Рамка Пусть <math>\{a_1,a_2,a_3 \dots\}</math> — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство:
- <math> \sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \leqslant e \sum_{n=1}^\infty a_n.</math>
|}
Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно <math>a_n</math> не равно нулюШаблон:Sfn.
Интегральная версия
У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции <math>f(x)</math>:
- <math> \int\limits_0^\infty \exp\left\{ \frac{1}{x} \int\limits_0^x \ln f(t) dt \right\} dx \leqslant e \int\limits_0^\infty f(x) dx </math>
|}
Неравенство Карлесона
В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана[4]: Шаблон:Рамка Пусть <math>g(x)</math> — выпуклая функция, причём <math>g(0)=0.</math> Тогда для любого числа <math>p>-1</math> имеет место неравенство:
- <math> \int\limits_0^\infty x^p e^{-g(x)/x} dx \leqslant e^{p+1} \int\limits_0^\infty x^p e^{-g'(x)} dx. </math>
|} Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при <math>p=0.</math>
Доказательство
Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности <math>1\cdot a_1,2\cdot a_2,3\cdot a_3\dots</math>:
- <math>M_{geom}(a_1,\dots,a_n)=M_{geom}(1a_1,2a_2,\dots,na_n)(n!)^{-1/n}\leqslant M_{arithm}(1a_1,2a_2,\dots,na_n)(n!)^{-1/n}</math>
где <math>M_{geom}</math> означает среднее геометрическое, а <math>M_{arithm}</math> — среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:
- <math>n!\geqslant \sqrt{2\pi n}\, n^n e^{-n}</math>
или, заменив <math>n</math> на <math>n+1</math>:
- <math>(n!)^{-1/n} \leqslant \frac{e}{n+1}</math> для любого <math>n\geqslant1.</math>
Отсюда:
- <math>M_{geom}(a_1,\dots,a_n) \leqslant \frac{e}{n(n+1)}\, \sum_{1\le k \le n} k a_k \, ,</math>
или:
- <math>\sum_{n\geqslant 1}M_{geom}(a_1,\dots,a_n) \leqslant\, e\, \sum_{k\geqslant 1} \bigg( \sum_{n\geqslant k} \frac{1}{n(n+1)}\bigg) \, k a_k =\, e\, \sum_{k\geqslant 1}\, a_k \, ,</math>
что завершает доказательство.
Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:
- <math>\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p\le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p</math>
для неотрицательных чисел <math>a_n</math> и <math>p>1</math>; для этого надо заменить <math>a_n</math> на <math>a_n^{1/p}</math> и устремить <math>p</math> к бесконечности.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:КнигаCS1 maint: Extra text: authors list (link) Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- ↑ T. Carleman. Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
