Русская Википедия:Неравенство Минковского

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой <math>p</math>-й степенью.

Формулировка

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой, и функции <math>f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu)</math>, то есть <math>\int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty</math>, где <math>p \ge 1</math>, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда <math>f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math>, и более того:

<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} .</math>

Доказательство

Сначала докажем, что

<math> f,g \in L^{p} (E) \Rightarrow |f+g|^{p} </math> суммируема на <math>E</math>.

Введём множества: <math>E_1=E[|f| \geq |g|] \quad E_2=E[|f| < |g|]</math>.

<math> \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_1} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu .</math>
<math> \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_2} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu .</math>

<math> \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu + \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu + 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu < \infty .</math>

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

<math> \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_E |f+g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu+ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu ;</math>

<math>|f| \in L^{p}, |f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q} \in L^{q} \Rightarrow</math> можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

<math> \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu \leq \left(\int\limits_E |f|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu\right)^{1/q} = \left(\int\limits_E |f|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} ,</math>
<math> \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \left(\int\limits_E |g|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu\right)^{1/q} = \left(\int\limits_E |g|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} .</math>

Таким образом:

<math> \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu \leq \left(\int\limits_E |f|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} + \left(\int\limits_E |g|^{p}d \mu\right)^{1/p}\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} .</math>

Делим левую и правую части на <math>\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} </math>.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда <math>\left(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu\right)^{1-1/p} = 0</math> неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве <math>L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> можно ввести норму:

<math>\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p} ,</math>

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство <math>E = \mathbb{R}^n</math> или <math>\mathbb{C}^n</math>. <math>L^p</math>-норма в этом пространстве имеет вид:

<math>\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top} ,</math>

и тогда

<math>\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E .</math>

Если <math>n = 2,3</math> и <math>p = 2</math>, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть <math>X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m</math> — счётная мера на <math>\mathbb{N}</math>. Тогда множество всех последовательностей <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, таких что

<math>\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty ,</math>

называется <math>l^p</math>. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

<math>\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p .</math>

Вероятностное пространство

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Тогда <math>L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> состоит из случайных величин с конечным <math>p</math>-м моментом: <math>\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty</math>, где символ <math>\mathbb{E}</math> обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

<math>\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p} .</math>

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера